NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 11/02/2019 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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Nombre 9		Culture	Maths 9	Multiplication	Expressions en 9
Débutant 9		Culture (suite)	9, …	Divisibilité par 9	Proverbes avec 9
Quizz 9		Division par 9	Preuve par 9	Magie du 9	Horloge maths

Quoi de neuf, docteur?

Célèbre jeu qui consiste à reconstituer les nombres avec k fois le même chiffre

Ici, les nombres de 1 à 12 avec trois 9 au maximum

Voir Horloge / Horloges avec indications mathématiques

Une jeune poulette rentrant de l'école, annonce son exploit de la journée: Maman, j'ai eu un 9.

Voir Pensées & humour

CARTE D'IDENTITÉ

9

Facteurs

1 x 3²

Numération

Base 2 3 4 5 8	1001 100 21 14 11
10	9
12 16 Romain	9 9 IX

Diviseurs

1, 3, 9

Quantité

3

Somme

13

S - N

4

Voir Partitions

Caractérisation du nombre

impair Plus petit nombre impair composé. composé interpremier déficient refactorisable (consécutif à 8) idonéal auto-nombre chanceux chanceux d'Ulam Cullen 2-rond Motzkin dissécable Padovan Proth refactorisable

Géométrique carré ennéagonal cubique centré octogonal centré totient parfait

Voir Nom des nombres Nombres selon langues Nombres selon bases Fonctions arithmétiques

Addition

Diagramme de Ferrers du nombre 9

Voir Diagramme de Ferrers

9 = 4 + 5 = 3 + 6 = 2 + 7 = 1 + 8 = 3 + 3 + 3 = …	30 partitions du nombre 9.
9 + 9 = 18 9 x 9 = 81	La multiplication retourne l'addition, mais les résultats sont toujours en neuf (1+8 = 8+1 = 9).
9 = 1 + 1 + 1 + 3 + 3 = 1 x 1 x 1 x 3 x 3	Motif avec somme et produit.
9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3²	Deux sommes de nombres consécutifs. Somme d'entiers consécutifs = carré.
9 = 5 + 4 = 3 x 3	Somme de consécutifs, égale à un multiple du précédent.
9 = 3 + 6	Somme de 2 triangulaires. Comme tous les carrés.
9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4	Trois seules sommes de chiffres différents donnant 9. Avec les permutations, il y en a 18.
9 = 27 / 3	Avec 27 = somme des facteurs les plus grands jusqu'à 9.
9 = 3² = 2² + 2² + 1² 2² = 4 = 1² + 1² + 1² + 1² 4² = 16 = 2² + 2² + 2² + 2²	Premier nombre somme deux fois de carrés répétés deux fois au maximum. Mais le seul carré qui n'est pas somme de quatre carrés.
9 = 3² = 2^3 + 1^3	Seule puissance qui en précède immédiatement une autre. Solution de x^3 + y^3 = z^2.
9 = 1^3 + 2^3 = 3 x 3	La somme de deux cubes est divisible par la somme des nombres (1 + 2 = 3). Coquetterie avec l'autre diviseur identique. Cas unique avec 2^3+2^3 = 16 = 4 x 4.
9 = 3² = 1 + 3 + 5	Nombre n à la puissance n-1. Le carré de n est la somme des n premiers impairs. Cube = Somme de nombres impairs consécutifs. Propriété générale des cubes.
9 + 10 + 11+ 12 = 13 + 14 + 15	Somme de nombres consécutifs. Propriété de tous les carrés.
9 = Sc{6!, 7!, 8! }	Somme des chiffres de ces trois factorielles successives.
9 = 5 + 4 = 5² – 4²	Motif valable pour tout nombre impair.
9 = 5² – 4² = 3² = 3² x 1²	Nombre complètement carré.
9 = 1! + 2! + 3! 9 = 3! + 3	Somme de  Factorielles. Faire 9 avec k chiffres identiques.

Table de multiplication du 9

Voir Table complète

09 18 27 36 45 54 63 72 81 90	Table de multiplication par neuf. La table de multiplication du neuf est palindromique. Elle est très simple à mémoriser. Rappel: 9 x 9 = 8 x 10 + 1 = 81
23 x 9 = 207 & 2 + 0 + 7 = 9 (exemple)	La somme des chiffres d'un produit par 9 est divisible par 9. Preuve par neuf.
9 = (2 x 2 – 1) (2² – 2 + 1) = 8 x 1 + 1	Nombre cubique centré. Nombre octogonal centré.
9 x 2 = 18 & 1 + 8 = 9 99 x 2 = 198 & 1 + 98 = 99	Motif itératif avec les repdigit en 9.
9 = (2+2) + (2-2) + (2x2) + (2/2)	Somme des quatre opérations.
9 = 2 x 2^2 + 1	Nombre de Cullen.
xy + x + y ne donne jamais 9	Auto-nombre
9 = n.m / (n + m)	Pour trois couples de nombres seulement.

a/9 = 0,aaa… ab/99 = 0,ababab…	Division par 9 et nombres périodiques. Voir pourquoi les divisions par 9, 99, 999 … engendrent des nombres périodiques. Un nombre de un chiffre divisé par 9 produit ce chiffre répété indéfiniment. On montre cette propriété en utilisant cette relation: On poursuit en appliquant la même procédure à 1/90.
		Le plus petit nombre déficient terminé par 9.
		Quantité de diviseurs de 36.
7, [9, 12] 9 = 3² et 10 = 2x5 => 10 – 3 = 7		Plus petit nombre tel que son radical (3) est égal au radical du suivant (10) moins 7. Seul 12 partage cette propriété (n au moins jusqu'à 10^9).
1233 => 1+2+3+3 = 9 1233 = 9 x 137 (exemple)		Un nombre est divisible par 9 si la somme des ses chiffres est divisible par 9.
(abc - bca) / k 321 – 123 = 198 = 9 x 22 (exemple) 9 x 5 = 45 & 45 + 54 = 99 (exemple)		Un nombre soustrait de son retourné donne toujours un multiple de 9. Tous les multiples, de 2 à 10, de 9 ajouté à son retourné donne 99.
9 = 4 / 0,444….		Bien utile pour le jeu du quatre-quatre et résoudre le cas de 73.

9^2 – 1 = 80 9^3 – 1 = 728 = 8 x 91	Toutes les puissances paires de 9, moins 1, sont divisibles par 80. Sinon (impair): divisible par 8.
456123 – 123456 = 530865 = 9 x 58985 (exemple)	Un nombre et son retourné: leur différence est divisible par 9. voir Devinette de la date de naissance
8^n – 7^n + 6^n – 5^n + 4^n – 3^n + 2^n – 1^n	Divisible par 9 pour les puissances paires.
5^2 – 4^2 = 9 5^4 – 4^4 = 369	Motif divisible par 9 pour les puissances paires.
9 = 144 / 16 = 46 368 / 5 152	Un Fibonacci est divisible par 9, si et seulement si N et Fn sont pairs.
9 (n – 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3 1^3 + 2^3 + 3^3 = 1 + 8 + 27 = 36 = 9 x 4 2^3 + 3^3 + 4^3 = 8 + 27 + 64 = 99 = 9 x 11 (exemples)	La somme des cubes de trois nombres consécutifs est divisible par 9. Rappel La barre verticale se lit "divise".
9 somme des chiffres …	La somme des chiffres d'une puissance d'un multiple de 3 est divisible par 9
9 divise n^3 ou produit un reste de -1 ou 1	Un nombre au cube est congruent à -1, 0 ou 1 mod 9. Autrement dit: un cube est égal à un multiple de 9 ou voisin d'un multiple de 9.
9 = 97524 / 10836 = 95823 / 10647 = 95742 / 10638 = 75249 / 08361 = 58239 / 06471 = 57429 / 06381	Motif pannumérique (avec les dix chiffres).

29² = (30 – 1)² = 900 – 60 + 1 = 841 (exemple)	Calcul mental des carrés en …9 >>> Calcul mental des carrés en 9… >>>
… 9 = n²	Un carré n'est jamais terminé par plus d'un seul 9.
8 = 2^3 & 9 = 3^2 9 = 3² = 2^3 – 1	Propriété générale des carrés. 8 et 9 sont les seules puissances consécutives. Conjecture de Catalan
9 = 3² = 3² = 2^3 + 1 = 1^3 + 2^3 = (1 + 2)²	Nombre carré (3^e). Seul carré somme de deux cubes consécutifs. Voir Carré et somme de cubes Voir Carré d'un nombre triangulaire égal somme de cubes Somme de cubes de nombres successifs.
9 = 3² = 5² – 4² = 3²	Différence des carrés de deux nombres consécutifs: 4 et 5 dont la somme est égale au nombre: 9. Propriété générale des nombres impairs. Triplet de Pythagore.
9 = 1^3 + 2^3 = 3 x 3	Somme de puissance de nombres consécutifs divisible par le nombre suivant. Propriété générale. Somme de deux cubes de nombres successifs: n^3 + (n+1)^3. Elle est toujours divisible par (2n+1).
	Une des solutions de x^3 + y^3 = 9, avec un nombre négatif.
9 = 1² + 2 x 2² = 1^3 + 1 x 2^3 = 2^2 + 5 x 1^2	Autour des triplets de Pythagore. Carrés et autres puissances.
9 = 5^2 – 4^2 = 25 – 16 = 6^2 – 3^3 = 36 – 27 = 15^2 – 6^3 = 225 – 216 = 253^2 – 40^3 = 64 009 – 64 000	Différences de deux puissances. Notez 25 et 16 dans deux cas.
9 = 10 – 1² - 0² = 11 – 1² – 1² = 34 – 3² – 4² = 74 – 7² – 4² = 90 – 9² – 0² = 91 – 9² – 1²	Ce motif existe 6 fois avec 9. C'est le record. Voir Curiosité
9^2k = ... 1 9^2k+1 = ... 9	9 élevé à une puissance paire donne 1 pour unité. 9 élevé à une puissance impaire donne 9 pour unité.

0, 1, 2 … 9	Le plus grand chiffre du système décimal.
910 = 1003	9 = 100 en base 3.
1 ou 9	Unité du carré de tout nombre premier supérieur à 5.
9 = !4 = 4! * (1-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!)	Sous-factorielle 4.
… 999 999 …	762^e à 767^e décimales de Pi.
(9 x 123 456 789) – 123 456 789 = 987 654 321 – 9	Motif pannumérique (avec les neuf chiffres).
12 345 678 x 9 + 9 = 111 111 111	Chaîne de formation de repunits.

1 / 9 = 0,111… 2 / 9 = 0,222… 3 / 9 = 0,333… 4 / 9 = 0,444… 5 / 9 = 0,555…	6 / 9 = 0,666… 7 / 9 = 0,777… 8 / 9 = 0,888… 9 / 9 = 1	Les nombres entiers divisés par 9 produisent une de ces décimales répétitives. Période 1. Tous les chiffres en séquence.
		Division par les nombres en 99…9. Sommes infinies de puissances. Voir Calcul du développement décimal
72 – 27 = 45 => 54 – 45 = 9 (exemple)		Impasse de Kaprekar.

Puissances

Voir Puissance / Racine

9^2 = 81 et 8 + 1 = 9 8^3 = 512 et 5 + 1 + 2 = 8 7^4 = 2401 et 2 + 4 + 0 +1 = 7	Nombre de Kaprekar. Aussi, nombre égal à la somme des chiffres du carré. Cas unique. Pépite en l'associant à 8 et 7.
	Carré concaténation de deux cubes.
	Tous les chiffres, sauf 8. Voir Nombre de Lewis Carroll
9^3 = 729 = 8 x 9 x 10 + 9 = 720 + 9 = 729	Un cube est égal au produit du nombre par ses deux voisins plus le nombre >>>
9^4 = 9^3 + 18^3	Bicarré somme de deux cubes.
9^4 = 2^4 + 4^4 + 6^4 + 6^4 + 6^4 + 7^4 = 16 + 256 + 3x1296 + 2401 = 6 561	Plus petite solution de ce genre.
9^2 = 81 9^4 = 6561 9^6 = 531 441 9^8 = 16 777 216 9^10 = 3 486 784 401	Aucun chiffre en commun dans le nombre et ces puissances.
…u^9 = … u	La puissance 9^e d'un nombre quelconque se termine par le même chiffre des unités que le nombre lui-même.
9^9^9 = 9 ^387 420 489	369 millions de chiffres !!!
2^9 + 9 = 521	Élément d'un motif général.

Suite	Voir le menu en haut de page Nombre 9 en sciences Division par 9 – Calcul mental, méthode pratique
Voir	Planètes Base Ball 9 Points
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