NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

DicoNombre   NOMBRES

Glossaire

Nombres

3

2

1

0,5

0,1

0,01

0,001

0

4

5

6 / 7 / 8 / 9

10  / 15

20 / 50

100 / 500

1000

Nombre 4

Culture 4

Maths 4

De 4 à 4,9

Expressions en 4

Débutant 4

Culture 4 (suite)

Divisibilité par 4

Proverbes avec 4

Quizz 4

Quantité 4

Bicarré

Sciences 4

Sciences 4 (suite)

Horloge maths

 

 

 

 

Comment passer de quatre à un!

Papa, explique-moi, c'est quoi être saoul?

- Tu vois les deux barmen. Si j'étais saoul, j'en verrais quatre.

- Mais papa, il n'y en a qu'un!

Voir Pensées & humour

 

 

Devinette

Soit 20 nombres entiers inférieurs à 70.

Leurs différences deux à deux.

Parmi elles, il y a quatre nombres égaux.

Preuve ?

Solution

 

 

 

CARTE D'IDENTITÉ

 

 

4

 

 

Facteurs

4 = 2 x 2

Numération

Base 2

3

4

5

8

100

11

10

4

4

10

4

12

16

Romain

4

4

IV

Diviseurs

1, 2 et 4

Quantité

3

Somme

7

S - N

3

 

Voir Partitions

 

 

Caractérisation du nombre

*      pair

*      composé (le plus petit)

*      déficient

*      pratique

*      idonéal

*      strictement non palindrome

*        MulQprem

*        factorielle carrée

*      hyperfactorielle 

*      comporielle

*      prodigue

*      puissance

*      Smith ou rigolo

*      tribonacci

*      Ulam

*      Lucas-Lehmer

*      prodigue (le plus petit)

*      Motzkin

*      Padovan

*      Mian-Chowla

Géométrique

 

*      triangulaire centré

*      carré

*      pyramide triangle

*      tétraédrique

 

Voir

Nom des nombres

Nombres selon langues

Nombres selon bases

Fonctions arithmétiques

 

 

 

 

PROPRIÉTÉS MATHÉMATIQUES générales

Nombre

*      4 = 2 x 2

Premier nombre composé.

>>>

*      4 = 2²

Premier vrai nombre carré.

Premier carré d'un nombre premier.

*      3, 2², 5 – 2, 3 et 5 sont premiers.

Alors, le nombre 4 est le seul carré d'un nombre premier qui suit et qui précède un nombre premier.         Merci Fabien T.

>>>

*      4 = 2² = 2 x 2 = 2 + 2

Motif exceptionnel avec 2.

Nombre rigolo: somme de ses chiffres égal somme des chiffres de ses facteurs.

>>>

*      4! + 1 = 5²

Il n'y a que trois cas comme celui-ci.

>>>

*      24 = 42 = 16

Seule solutions de ce type.

>>>

Jeux

*      (44 4 + 4 x 4) x 4 x 4 = 1664

   4 x 4 x 4 – 4 = 44 + 4 x 4 = 60

Célèbre défi des nombres formés avec quatre 4.

>>>

*      4 = { 9 + 9 – (9+9) / 9 }

Faire  4 avec k chiffres identiques.

>>>

*      4 – 1 = 5 ??  Oui, avec les chiffres romains, en trichant un peu!

>>>

   15h 44 + 4 x 4 minutes

     = 16 h = 4 x 4 heures Curiosité de Jérémy (un Internaute)

Théorie des nombres

*      4² = 5² – 3²

Triplet de Pythagore, le plus petit.

>>>

*      3² += 5²

n = 4 est au centre de nombres (3 et 5)
tels que la somme des carrés est la même de chaque côté. C'est le plus petit motif d'une suite infinie. Le suivant est 12 avec deux nombres de chaque côté du 12: 10² + 11² + 12² = 13² + 14².

>>>

*      La somme de quatre entiers consécutifs n'est jamais un carré.

>>>

*      N = C1 + C2 + C3 + C4

Théorème de Lagrange: tout nombre est somme de quatre carrés au plus.

>>>

*      Les quatre problèmes de Landau

concernant les nombres premiers.

>>>

Algèbre

*      4e degré, équation résolue par Ferrari et Cardan.

>>>

*      Quaternions: algèbre à 4 dimensions.

>>>

Géométrie

*      Quadrilatères, carrés

>>>

*      r = 4 rayon du cercle inscrit

dans le triangle de Pythagore (9, 40, 41)

>>>

*      4 points définissent une hyperbole (si 3 points non alignés).

>>>

Topologie

*      4 couleurs suffisent pour colorier une carte, sans placer la même couleur pour des régions adjacentes.

>>>

 

 

 

PROPRIÉTÉS MATHÉMATIQUES détaillées

Type séquence

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149 …

*    Nombre tribonacci: sommes successives des trois nombres précédents.

4, 14, 194 …

*      Suite de Lucas-Lehmer.

 

Addition

4 = 1 + 1 + 1 + 1

    = 2 + 1 + 1

    = 2 + 2

    = 3 + 1

    = 4

*      Cinq partitions du nombre 4.

*      4 et 6 sont les deux seuls nombres non sommes de premiers distincts.

4 = 1 + 3

*      Partition unique avec deux chiffres différents.

4 = 1 + 3 = 3 + 1 = 1 + 0 + 3

et 13, 31, 103 sont premiers

*      Cas de nombres premiers dont la somme des chiffres est 4.

Exemple de la conjecture: il est toujours possible d'obtenir k, non-multiple de 3, avec la somme des chiffres d'un nombre premier.

4 + 5 + 6 = 7 + 8

*    Somme de nombres consécutifs.
Propriété de tous les carrés.

4 = (1+1) + (1-1) + (1x1) + (1/1)

*    Somme des quatre opérations.
Forme valable pour tous les nombres en 4k.

  4 = 1 + 3 = 2 + 2

  8 = 3 + 5 = 4 + 4

12 = 5 + 7 = 6 + 6

*       Le nombre quatre et ses multiples successifs sont générés par l'addition de deux impairs successifs.

ou par l'addition d'un pair à lui-même.

4 =

4   = 3,996…

*       Nombre d'or au cube et son inverse.

*       Pi par racine de Phi proche de 4.

4

*      Racine triangulaire de 10.

+

*       Formule trouvée par Bombelli.

*       Tout nombre entier peut être exprimé avec les log.

Voir problème des quatre 4.

 

Table de multiplication du 4

Voir Table complète

 

Multiplication

4 = ½ ( 3 x 1² + 3 x 1 + 2 )

*    Nombre triangulaire centré.

4 = 2 x 3 x 4 / 6

*    Nombre pyramide triangle.

4 = 1 + 3

   = (2 x 3 x 4) / 6

*    Nombre tétraédrique (2e): somme des dix premiers nombres triangulaires.

4! + 1 = 5² = 25

5! + 1 = 11² = 121

7! + 1 = 71² = 5 041

*    Problème de Brocard: factorielle + 1  = Carré ou factorielle et carré séparé de 1. Ce sont les 3 seules solutions connues et, une coquetterie avec 7 et 1.

 

Division et diviseurs

*      Le plus petit nombre déficient terminé par 4.

3, [4, 49]

     4 = 2² et 5 = 5 => 5 – 2 = 3

*      Plus petit nombre tel que son radical (2) est égal au radical du suivant (5) moins 3.

Seul 49 partage cette propriété (n au moins jusqu'à 109).

N = …du

est divisible par 4

si 2d+u  est divisible par 4.

*    Exemples:

4 936 => 2x3 + 6 = 12 => divisible par 4.

n² – 1 = (n – 1) (n + 1)

est divisible par 4

si n  est impair.

*    Exemples:

(3 – 1) (3 + 1) =   8

(5 – 1) (5 + 1) = 24

x2 – y2

est divisible par 4

si (x y)  est pair.

*    Exemples:

32 – 12 =   8

42 – 22 = 12

52 – 32 = 16

a = ...cdu

est divisible par 4

si 2d + u multiple de 4

*    Voir Divisibilité par 4.

4 ne divise pas (4 – 1) ! = 3 !

*      Seul n composé qui ne divise pas (n – 1) !

Voir factorielle

a² + b² = 4k + r

r = {0,1,2} jamais 3

*      Reste de la division par 4 d'une somme de carrés.

 

Dénombrement  et divers

4 = C41 = C43

*    Nombre du triangle de Pascal.
Combinaisons de 4 objets pris 1 par 1 ou 3 par 3.

4! – 1 = 23

*    Générateur d'un nombre premier factoriel.

4 = 00 x 11 x 22

*    Hyperfactorielle.

4 =  1 + 2x0,5 + 3x(0,5)2

                         + 4x(0,5)3 + …

*    Série infinie de la forme 1+ 2x + 3x² + 4x3 + …

 

Puissance

Voir Puissance / Racine

 

4 = 2² =  1 + 3

*      Carré = somme de nombres impairs consécutifs.

*      Propriété générale des carrés.

4 = 2² =  1² + 3 x 1²

*    Autour des triplets de Pythagore.

4 = 23 – 22 = 62 – 25 = 53 – 112

*    Différences entre puissances (seules différences égales à 4 jusqu'à un million et sans doute au-delà).

*    Somme des puissances des inverses de 4 – Archimède.

N = a² + b²    si …

*      Un nombre est la somme de 2 carrés si aucun de ses facteurs + 1 n'est pas divisible par 4 – Fermat

–4 = (1 + i)4 = (1 – i)4

     = (1 + i)3 + (1 – I)3

*      Entier = puissance de nombre complexe.

*      Complexe et puissance de 2.

–1024 = (4 + 4i)4 = (4 – 4i)4

*      Forme complexe avec des 4.

n4 = 16k ou 16k + 1

*      Forme d'une puissance quatrième.

 

Nombre et ses puissances

= 5² – 3²

*    Triplet de Pythagore remarquable: 3 nombres consécutifs. Triplets sacré ou isiaque.

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4

*    Cycle itératif (somme des carrés des chiffres) qui conduit à cette boucle pour tout nombre, ou qui s'arrête avec 1.

2 4 = 4 2

x y = y x

*      Seule solution en nombres entiers.

42 – 1  =       15

44 – 1  =     255

46 – 1  =   4095

48 – 1  = 65535

4n

*   Toutes les puissances paires de 4,
moins 1, sont divisibles par 15

Sinon (impair): divisible par 3.

42 = 83 = 64

*   Le carré de 4 est égal à un cube. Forme générale.

44 = 43 + 43 + 43 + 43 =256
n4 = n x n3

*   Bicarré somme de quatre cubes. Valable pour tous n.

46 = 4 096

*   Nombre qui se retrouve en tête d'une de ses puissances et puissance en fin.

4n + n4

*   Valeur toujours composée, sauf pour n = 1.

910 = 3 486 784 401

*   Aucun chiffre en commun dans le nombre et sa puissance 10.

 

Autour de ce nombre

1/4 = 0,25

2/4 = 0,5

3/4 = 0,75

4/4 = 1

*      Les nombres divisés par quatre donnent

soit les deux décimales 25,

soit la décimale 5,

soit les deux décimales 75,

soit entiers (divisible par 4).

– 4 = (1 – i )4 =   (1 – i)² (1 – i)²     =    (2i)²

   4 = |1 – i |4 = { (1² + (–i)²) }4 = { (2) }4

*      Avec les nombres complexes
et le module du nombre complexe.

 

 

 

 

Énigme des quatre sommes identiques

Énigme

Soit 20 nombres entiers inférieurs à 70.

Leurs différences deux à deux.

Parmi elles, il y a quatre nombres égaux.

 

Anglais

Twenty pairwise distinct positive integers are all less than 70. Prove that among their pairwise differences there are four equal numbers.

Problème posé lors d'une compétition junior au Georgia Institute of Technology en 2009

 

Solution

Prenons les différences entre deux nombres voisins après avoir ordonné la liste du plus petit au plus grand.

Supposons qu'il n'y ait pas plus de trois différences égales.

Calculons la somme minimale de ces différences =>

 

Évaluation des différences au mieux

Avec 20 nombres, il y a 19 différences. Et, 19 = 3 x 6 + 1.

Dans le cas le plus optimiste, il y a trois différences égales à 1, puis trois égales à 2, etc. et la dernière égale à 7.

Au total: 3 x (1+2+3+4+5+6) + 1x7 = 3 x 21 + 7 = 70.

Exemples

Une combinaison possible de 20 nombres jusqu'à 71 avec pas plus de trois sommes égales =>

C'est l'amplitude minimale avec 20 nombres.

 

Nombres
[1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 16, 19, 23, 27, 31, 36, 41, 46, 52, 58, 64, 71]

Différences
[1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7]

 

 

Principe des tiroirs

Si on demande à réduire cette amplitude de 71 à 69, il faut loger une nouvelle différence égale à une des différences déjà existantes.

D'où présence d'une quatrième somme.

 

Nombres
[1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 13, 16, 19, 23, 27, 31, 36, 41, 46, 52, 58, 64, 69]

Différences
[1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 5]

 

Autre vision, avec la somme générale des différences. Elle ne dépasse pas 68. =>

Or, pour disposer de trois sommes seulement, la somme minimale doit atteindre 71.

C'est incompatible. Il faut donc plus de trois sommes égales.

 

(a20 – a19) + (a19 – a18) + …
+ (a3 – a2) + (a2 – a1 ) = a20 – a1

 

Maximum: 69 – 1 = 68

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Suite

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