NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres

DicoNombre   NOMBRES

Glossaire

Nombres

6

5

4 / 3 / 2

1

0,1

0,001

0

8

9

10 / 11 / 12

15

20 / 50

100 / 500

1000

Nombre 7

Culture 7

Maths 7

7, …

Expressions en 7

Débutant 7

Culture suite 7

Divisibilité par 7

Table du 7

Proverbes avec 7

Quizz 7

Sciences 7

Division 1/7

Sept et Days

 

 

 

 

 

 

The doctor then told me that I should not do any events for three days and also said to me that I should not speak for three days. My wife said, 'make it seven'.

Alors mon docteur me dit que je devrais ni exercer une activité ni parler pendant trois jours. Ma femme dit: mettez sept jours

Arnold Schwartzeneger, Gouverneur de Californie après un accident de moto qui lui a valu une suture des lèvres.

Voir Pensées & humour / Expressions en anglais

 

 

 

CARTE D'IDENTITÉ

 

 

7

 

 

Facteurs

1 x 7

Numération

Base 2

3

4

5

8

111

21

13

12

7

10

7

12

16

Romain

7

7

VII

Diviseurs

1 et 7

Quantité

2

Somme

8 = 23

S - N

1

 

Voir Partitions

 

Caractérisation du nombre

*      impair

*      premier

*      déficient

*      auto-nombre

*      chanceux d'Ulam

*      premier long (1/7 = 0,142857 14…)

*      premier de Mersenne (23 – 1)

*      premier sûr (2 x 3 + 1)

 (le seul Mersenne et sûr)

*      premier cubain (23 – 13)

*      premier de Woodall (2 x 2² - 1)

*      premier de Carol et de Kynea

*      factorielle première (3! + 1)

*      Tribonacci

*      congruent

*      somme diviseurs cube

*      Heegner

*      NSW (7² + 1 = 2 x 5²)

*      Padovan

*      Perrin

*      brésilien (le plus petit)

*      cyclique

*      dichotomique et trichotomique premier

Géométrique

 

*      heptagonal

*      hexagonal centré

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voir

Nom des nombres

Nombres selon langues

Nombres selon bases

Fonctions arithmétiques

 

Singularité parmi les chiffres: tous peuvent être divisés ou multipliés sans quitter l'ensemble des chiffres. Le chiffre 7 est l'unique exception. 1, 2, 3, 4 et 5 peuvent être doublés; 6 et 8 peuvent divisés par 2; 9 par 3; seul 7 résiste.
 

 

PROPRIÉTÉS TYPIQUES

Nombre

*         7 = une pléiade

Eu égard à son étymologie, certains souhaiteraient que une pléiade désigne sept choses.

En fait, une pléiade désigne une multitude de choses.

>>>

*         7 = 1 x 7   7 est un nombre premier.

>>>

*         7 = 23 – 1    Nombre de Mersenne.

>>>

Numération

*         710 = 1112   Nombre brésilien le plus petit.

>>>

*         7 barres  pour coder un chiffre sur un indicateur numérique.

>>>

Ésotérisme

*         7 est le plus populaire des nombres.

>>>

Arithmétique

*         7 = 1² + 1² + 1² + 2²

Premier nombre somme de quatre carrés

>>>

*         70 + 71 + 72 + 73 = 202

Seul cas de cette forme: somme des diviseurs du cube = carré.

>>>

*         Seul chiffre (de 1 à 9) qui ne soit ni un multiple, ni un diviseur d'un nombre de 1 à 10

(2 divise 4, 3 divise 6..., 6 est un multiple de 2...)

>>>

*         999 999 / 7 = 142 857

Toutes les fractions avec 7 au dénominateur donnent ces chiffres avec permutation circulaire.

>>>

Théorie des nombres

*         7 = 4 + 3 = 4² – 3²

Motif valable pour tout nombre impair.

>>>

*         Indétermination: sept cas dont le paradoxal 1infini qui vaut 1 et bien d'autres valeurs.

>>>

*         Les sept problèmes de la fondation Clay

>>>

Géométrie

*         7 couleurs pour colorier le tore.

>>>

 

*         7 triangles aigus pour diviser un triangle obtus.

>>>

 

*         7 omniprésent dans les triplets de Pythagore.

>>>

 

*         7 triangles de même aire divisent toujours un triangle quelconque.

>>>

 

*         7 côtés: l'heptagone est le plus petit polygone

qui ne peut pas être construit à la règle et au compas.
Le suivant est l'ennéagone.

>>>

Topologie

*         Sphère à 7 dimensions  => existence de plusieurs structures lisses: découverte de John Milnor 1963.

*         Sphère à n dimensions => la généralisation existe effectivement => Topologie différentielle.

>>>

 

 

*         Il existe 7 types de modèles de " catastrophes " en mathématiques.

>>>

Histoire

   7 – Erdös: Nombre d'Erdös maximum.

>>>

 

Table de multiplication du 7

Voir Table complète

 

 

Un schéma simple permet de se représenter les unités des multiplications par 7.

Pensez au clavier de votre ordinateur ou de votre calculette.

Partez du 7 et parcourez les chiffres de haut en bas et de gauche à droite, vous balayez les unités des multiplications par 7.

 

En effet: 7 x 1 = 7 et le suivant est bien 7x 2 = 14 se terminant par 4.

Arrivé en bas avec le 1, on constate que 7 x 3 est bien 21 avec un 1 pour unité. Etc.

Voir Tables de multiplication

 

 

PROPRIÉTÉS détaillées

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149 …

*          Nombre tribonacci. Sommes successives des trois nombres précédents.

17, 257, 65 537 …

*          Tous les nombres de Fermat se terminent par 7, à partir de F2.

– 7

*          Nombre de Heegner.

7 = 3 + 4

*          Nombre de Lucas : 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29...

7 = 1 + 2 + 4

*          Partition unique avec trois chiffres différents.

7 partitions

*          Partitions du nombre 5.

*          Mêmes chiffres de part et d'autre de l'égalité.

*          Curiosité avec la racine quatrième.

7 = 3! + 1

*          3e factorielle première; suivante: 11! + 1.

Voir aussi Plage factorielle

7 = 1 +  6 = 2 + 5 = 3 + 4 = 7

 

                                   3 x 7 = 21

*          Somme des faces opposées d'un .

*          Somme totale des points sur un dé: facile à retenir, c'est trois double-faces à 7 points, c'est-à-dire la somme des nombres de 1 à 6, qui est le nombre triangulaire   21 .

7 k

*          Dizaine – 2 x unité d'un multiple de 7 est un multiple de 7 >>>

7 = 6 x 1 + 1

*          Nombre hexagonal centré.

7 = 2 x 3 + 1

*          Primorielle plus un, nombre  premier.

7 = 6 + 1

   = 2 x 22 – 1

   = 1 x 81 – 1

*          Premier. Le plus petit de la forme 6n + 1.

*          Premier de Woodalld'ordre 2 et d'ordre 8.

7 = 1 / 4 (1+2+3+4+5+6+7)

*          Le quart de la somme des nombres jusqu'à lui compris. >>>

*          Motif général (exemple).

7 + 7 + 7  = 21

= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 3

= ((1+6) + (2+5) + (3+4)) /3

*          Le tiers des nombres qui lui sont inférieurs.

Propriétés générale des impairs, liée à la formule donnant somme des entiers successifs S = n (n+1) /2

  7 = 9  – 2

77 = 9² – 2²

*     Motifs produisant une persistance du 7.

 

(7, 17, 23)

*     Triplet tel qu'en ajoutant 73 à chacun, le premier est égal double de la somme des deux autres, le deuxième est égal au triple et le troisième au quadruple.    Voir Explications

7 = n.m / (n + m)

*     Pour deux couples de nombres seulement.

7 = P(5)

*     Les sept partitions du nombre 5.

xy + x + y ne donne jamais 7

*     Auto-nombre.

7 = 3! + 1

      7! – 1 = 5 039

*     Nombre premier factoriel.

*     Générateur de nombre premier factoriel.

7 = 3! + 1

      7! + 1 = 71²

*     Factorielle plus 1. Voir problème de Brocard en 4

7 = (Ö9)! + 9/9 = 6 + 1

*     Faire 7 avec k chiffres identiques.

 

1234 x 7 = 8 638

5050

2468

1120

8638

*     Multiplication rapide par 7:

Mettre 5 sous tous les chiffres impairs, et

Ajouter le double du chiffre du dessus, puis

Ajouter la moitié entière du chiffre précédent.

7 x 2n = …

*     Curiosités

7 = ½ 24/5 x 35/12

   (25/5)² + (35/12)² = (337/60)²

*     7 est un nombre congruent.
Triangle rectangle rationnel à aire rationnelle.

7 = 10! / 6!² = 10! / 720²

    = 3 628 800 / 518 400

*     Factorielle divisée. Seuls les chiffres 5, 6, 7 sont atteignables par cette forme. Le nombre suivant est 20.

3 & 2 x 3 + 1 = 7 sont premiers

*     Premier sûr.

1 3 2 6 4 5

*     Clé de divisibilité par 7

Divisibilité par 7

*     Tous les procédés ont un point commun: leurs calculs sont plus longs que la division par 7.

 6n – 5n +  4n – 3n + 2n – 1n

*     Divisible par 7 pour les puissances paires.

abc abc

est divisible par 7

*     Exemples:

123123 = 3 x 17 589

454454 = 3 x 64 922

n6 – 1

est divisible par 7

si n non divisible par 7

*     Exemples:

26 – 1 = 63

36 – 1 = 728 = 7 x 104

46 – 1 = 4 095 = 7 x 586

4n – 3n

est divisible par 7

pour n pair

*     Exemples:

42 – 32 = 7

44 – 34 = 175 = 7 x 25

32n – 2n

est divisible par 7

*     Exemples:

32 - 2 = 7

34 - 22 = 77

36 - 23 = 721 = 7 x 103

7  p12 – q12

*     Divisibilité par 7

si p ou q non divisibles par 7.

 

7 = 1² + 1² + 1² + 2²

*          Premier nombre à ne pas être somme de trois carrés.     Voir décomposition

*          Seule somme de puissances de 2 à 5 avec deux à cinq termes.

7 = 20 + 21 + 22

   = 23 – 1 

*          Somme puissances successives.

Cette égalité est une propriété générale.

7 =  4  + 3

  =  4² – 

*          Motif valable pour tout nombre impair.

7 = 4² – 3²

      43 – 33 = 37

*          Différence de deux carrés consécutifs.

*          Premier-"cubes".

7 =   24       32 = 16 – 9

   =   25       52 = 32 – 25

   =   27     112 = 128 – 121

   =   215 – 1812 = 32 768 – 32761

   =   85  – 1812 = 32 768 – 32 761

   = 323  – 1812 = 32 768 – 32 761

*          Différence de puissances successives.

7 = 23 – 1

   = 23 – 13

*          Nombre de Mersenne. Différence de deux cubes consécutifs (nombre cubain).

42 – 32 =     7

44 – 34 = 175 = 7 x 25

4n – 3n =            7 k

*          Motif divisible par 7 pour les puissances paires.

7 cubes

*          Tous les nombres (grands) sont sommes de 7 cubes

*       Formule sur le modèle Bombelli

142 + 857 = 999

14 + 28 + 57 = 99

*     Division par 7 et nombres périodiques: le nombre 7 est dichotomique et trichotomique premier; les demi-périodes de 1/7, comme ses tiers de période, somment en nombres en 9.

1/7= 0,142857 1428…

2/7 = 0,285714 2257…

 

142 857 x 7 = 999 999

*      Ce nombre est magique!
Les nombres entiers divisés par 7 produisent les mêmes décimales périodiques d'ordre 6 par permutations circulaires.

Voir Nombre 142 857 / Nombre 1/7

 

 

Constantes et approximations en septièmes

 

7! + 1 = 5 041 = 71²

*       Problème de Brocard. 3e et dernière solution.

*     Nombre premier. Expression première pour: 3, 5, 7, 71, 151, 157 (testée jusqu'à 1000).

= 5² + 5² – 1

*       7 est presque la diagonale d'un carré de côté 5.

Les Grecs l'appelaient la diagonale rationnelle.

= 2² + 3² + 6²

*      Carré somme de trois carrés, comme tous les carrés impairs. Le dernier en telle somme unique.

73 = (3 + 4) 3 = 343

*       Curiosité et truc pour mémoriser le cube de 7.

*       Palindrome.

73 = 180 + 181  + 182

=    1  +  18   + 324 = 343 = 73

*      Deux des trois cas de puissances successives comme puissance.

*      Un  des trois tels motifs.

70 + 71  + 72 + 73

  = 1   + 7   + 49 + 343 = 400 = 20²

*      Curiosité. Seul entier tel que la somme des diviseurs de son cube (1, 7, 49 et 343) soit un carré.

74 = 2 401 & 2+4+0+1 = 7

*       Nombre de Kaprekar d'ordre 4.

*       Nombre NESCHIP.

77 = 823 543  6 mod 11

*       Méthode de calcul avec Fermat.

7n
72 – 1 =          48

74 – 1 =      2400

76 – 1 =  117648

*      Toutes les puissances paires de 7, moins 1, sont divisibles par 48

Sinon (impair): divisible par 6.

72 = 49, 73 = 343 …

 

7 k d = 0 ou 4

 

Exemple: 733 = … xy

33 = 4 x 8 + 1  => xy = 01

*      Le chiffre des dizaines de 7 à la puissance k est toujours 0 ou 4.

*      Le chiffre des unités est 1, 7, 9, 3

 

Nombre 7 et ses décimales >>>  

 

 

 

Suite

*    Voir le menu en haut de page

*    Nombre 7 en sciences et divers

*    Multiplication 77

Voir

*    Nombre Hexagonal Centré

*    Triangle en 7

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