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Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / ***Nouveautés => ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 28/03/2011
Pages du 3 |
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-Ý- 3 Arithmétique SOMME des CUBES
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13 = |
1² |
= 1 |
|
13 + 23 = |
(1 + 2)² |
= 9 |
|
13 + 23 + 33 = |
(1 + 2 + 3)² |
= 36 |
|
13 + 23 + 33 + 43 = |
(1 + 2 + 3 +4)² |
= 100 |
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13 + 23 + 33 +...+ n3 = |
(1 + 2 + 3 +...+ n)² |
= [ n ( n - 1 ) ]² |
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La somme
des cubes est un carré |
Rappel
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Les sommes des nombres impairs donnent un carré |
Voir Cubes / Nombres Triangles / Calcul des carrés
-Ý- 3 Arithmétique DIFFÉRENCE des CUBES*
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Nombre |
Cube |
Différences |
||
|
1 |
1 |
N°1 |
N°2 |
N°3 |
|
2 |
8 |
7 |
|
|
|
3 |
27 |
19 |
12 |
|
|
4 |
64 |
37 |
18 |
6 |
|
5 |
125 |
61 |
24 |
6 |
|
6 |
216 |
91 |
30 |
6 |
|
7 |
343 |
127 |
36 |
6 |
Autre illustration
|
Diff.N°1 |
Formule |
Écart |
|
|
7 = |
1 + 6 x |
1* |
|
|
19 = |
1 + 6 x |
3 |
2 |
|
37 = |
1 + 6 x |
6 |
3 |
|
61 = |
1 + 6 x |
10 |
4 |
|
91 = |
1 + 6 x |
15 |
5 |
|
127 = |
1 + 6 x |
21 |
6 |
*Ces valeurs sont les nombres triangulaires
|
La différence troisième
des cubes est une constante égale à 6 |
-Ý- 3 Arithmétique PROGRESSION DES PUISSANCES DE
3
Plus grand nombre avec 3 trois:
|
333 = |
333 |
|
333 = |
35 937 |
|
(33 )3 = |
7 625 597 484 987 |
|
333 = |
5 559 060 566 555 523 |
-Ý- 3 CHIFFRES & PUISSANCES 3 fois
|
n |
n^n |
(n^n)^n |
|
n^(n^n) |
|
|
2 |
4 |
16 |
|
16 |
|
|
3 |
27 |
19 683 |
|
0,7625597485 |
10 13 |
|
4 |
256 |
4 294 967 296 |
|
0,1340780793 |
10 155 |
|
5 |
3 125 |
0,2980232239 |
10 18 |
0,1911012598 |
10 2 185 |
|
6 |
46 656 |
0,1031442480 |
10 29 |
0,2659119772 |
10 36 306 |
|
7 |
823 543 |
0,2569235775 |
10 42 |
0,3759823527 |
10 695 975 |
|
8 |
16 777 216 |
0,6277101735 |
10 58 |
0,6014520754 |
10 15 151 336 |
|
9 |
387 420 489 |
0,1966270505 |
10 78 |
0,4281247732 |
10 369 693 100 |
En jaune le plus grand
nombre écrit avec 3 chiffres
-Ý- 3 Arithmétique UNITÉS DES CUBES*
Chiffre des unités des cubes
|
n |
n3 |
u = n |
u + n = 10 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
8 |
|
8 |
|
3 |
27 |
|
7 |
|
4 |
64 |
4 |
|
|
5 |
125 |
5 |
|
|
6 |
216 |
6 |
|
|
7 |
343 |
|
3 |
|
8 |
512 |
|
2 |
|
9 |
729 |
9 |
|
|
10 |
1 000 |
0 |
|
|
On trouve un chiffre des unités différent pour le cube de chaque nombre de 1 à 10 |
Les uns sont égaux à n
4 = 4
Les autres s'ajoutent à n pour donner 10
2 + 8 = 10
Calcul rapide:
Connaissant le cube d'un nombre à deux chiffres,
retrouver ce nombre.
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Principe: |
Exemple: |
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C = 658 503 |
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658 > 512 => 8 |
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3 => 7 |
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Résultat: |
3 Ö 658 503 = 87 |
Les calculateurs prodiges de foire retiennent ce
tableau.
C'est aussi possible avec la puissance 5,
mais très difficile avec la puissance 4
-Ý- 3 Algèbre SIMPLIFICATION
Exemple:
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Termes du produit |
Résultats |
||||||
|
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Produit |
Formule |
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
1 |
4 |
10 |
|
|
|
|
40 |
40 |
|
2 |
4 |
10 |
82 |
|
|
|
3 280 |
3 280 |
|
3 |
4 |
10 |
82 |
6 562 |
|
|
21 523 360 |
21 523 360 |
|
4 |
4 |
10 |
82 |
6 562 |
43 046 722 |
|
9,2E+14 |
9,2E+14 |
|
5 |
4 |
10 |
82 |
6 562 |
43 046 722 |
1,8E+15 |
1,7E+30 |
1,7E+30 |
Attention:
|
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
1 |
9 |
81 |
729 |
6 561 |
59 049 |
|
|
3 |
9 |
81 |
6 561 |
43 046 721 |
1,8+15 |
Démonstration:
|
On multiplie par 1, sous la forme: |
1/2 ( (3²)0 - 1 ) |
|
|
|
|
Avec le premier terme: |
( (3²)0 - 1 ) |
( (3²)0 + 1 ) |
= |
(3²)1 - 1 |
|
Le résultat avec le terme suivant: |
( (3²)1 - 1 ) |
( (3²)1 + 1 ) |
= |
(3²)2 - 1 |
|
Etc. |
|
|
|
|
|
Et pour finir: |
( (3²)n - 1 ) |
( (3²)n + 1 ) |
= |
(3²)n+1 - 1 |
Généralisation:
