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=> ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 09/03/2012

Débutants	- Ý - Dictionnaire des nombres Nombre 3	Glossaire
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Index 3

Carte Identité 3

Maths 3

Cube

De 3 à 3,9

Quantité 3

Sciences 3

Maths 3 suite

Culture 3

Expression en 3

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Un fou rentre chez lui. La pendule sonne trois fois

Oh, ça va! Je sais qu'il est une heure, pas la peine de le répéter trois fois!

Voir Pensées & Humour

Numération

Base 2 3 4 5 8	11 10 3 3 3
10	3
12 16 Romain	3 3 III

-Ý- 3 Arithmétique NOMBRE

3	3 = 2 x 1 + 1 3 = 1 x 4^1 - 1			Le plus petit nombre premier impair Le nombre 2 étant le seul pair Jumeau avec 5 (p et 2p + 1 sont premiers) Nombre premier de Woodall ü Aussi plusieurs fois générateur de nombres de Woodall d'ordre n
	3 & 2 x 3 + 1 = 7 sont premiers			Nombre premier de Sophie Germain
	= 1 x 2^2 + 1			Nombre de Cullen
	3 = 1^1 + 2^1 = 1 x 3			Somme de puissance de nombres consécutifs divisible par le nombre suivant ü propriété générale
	3 = 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3			Trois partitions du nombre 3
	3 = 1 + 2			Partition unique avec deux chiffres différents
	1 x 2 x 3 1 + 2 + 3	=	6 6	Somme des nombres qui divise la factorielle
	= 4! / 2^3 = 24 / 8			Factorielle divisée
	3 = 2^1 + 1 = 2^2 à la puissance 0 + 1			Plus petit nombre de Fermat Plus petit nombre de Fermat premier Ø Rappel 2^0 = 1
	= 1^0 + 1^1 + 1^2 = 1^1 + 1^2 + 1^3 = 1^a + 1^b + 1^c			Somme des puissances successives de 1
	3 = 2^2 - 1			Plus petit nombre de Mersenne premier
	3 = 2^2 - 1^0			Plus petite différence de deux carrés ü Propriété générale des nombres impairs: différence des carrés de deux nombres consécutifs
	3 = 1 + 2			Nombre de Fibonacci (1, 3, 4, 7, 11, 18, 29...)
	3 = 2 + 1 = 2² - 1²			Motif valable pour tout nombre impair
	3 = 1 + 2 = (2 x 3) / 2			2^è nombre triangle Nombre du triangle de Pascal
	1, 3, 4, 7, 11, 18, 29...			Nombre de Lucas
	3 et 1 006 003			Paire de Wieferich
	2^2 -1 = 3 2^4 -1 = 15 2^6 -1 = 63 2^8 -1 = 255 …			Toutes les puissances paires de 2, moins 1, sont divisibles par 3

3		Racines continues
		Curiosité Tout nombre entier peut être atteint avec les log Voir problème des quatre 4
	3 = 3 / 3 + (3+3) / 3	Faire 3 avec k chiffres identiques
	3! – 1 = 5 & 3! + 1 = 7 3! – 3 = 3 2! + 1 = 3	Générateurs de nombres premiers factoriels Seule forme en n! – n qui donne un premier Nombre premier factoriel
	1! + 2! + 3! + 4! = 33	Toutes les sommes de factorielles à partir de là se terminent par 3
	3 = 1 + 2 = 1! + 2!	Le seul à être la somme des factorielles des nombres qui le précédent
	3² = 5² - 4²	Triplet de Pythagore remarquable: 3 nombres consécutifs Triplets sacré ou isiaque
	3 = 2^7 - 5^3 = 128 - 125	Différence entre puissances (seule différence égale à 3 jusqu'à un million et sans doute au-delà)
	= 3 x 2^3 – 1 = 23 = nombre premier	Générateur de nombre de Woodal (2^e)

3	Premier nombre qui augmente plus Ø par multiplication Ø que par addition
	Premier nombre premier jumeau avec 5 Ø ensuite on a 5 , 7 - 11 , 13 - 17 , 19 ... Ø à l'exception de (3,5) ils sont tous de la forme 6n ± 1
	Seul premier p tel que p-1 soit premier
	Seul premier p qui divise 2^p + 1
	Seul premier de la forme n² - 1
	Nombre chanceux d'Ulam Ø Voir 41, nombre chanceux d'Euler
	Nombre de relations entre deux nombres a et b: Ø a < b ; a = b ; a > b
	Divise tout nombre de la forme n^3 - n
	Divise tout nombre de la forme ab ( a² - b² )

3	Tout nombre est la somme Ø d'au plus trois nombres triangulaires - Gauss
	Tout nombre impair Ø suffisamment grand est Ø la somme d'au plus trois nombres premiers
	Nombre de Heegner (-3)
	Tout nombre est divisible par 3 Ø si la somme de ses chiffres est divisible par 3
	Le plus petit carré magique est d'ordre 3 Ø et de somme 15
	Par trois points passe un plan Ø 3 pieds à une table lui assurent la meilleure stabilité, Ø c’est plus difficile avec 4 Voir Géométrie et 3
	Aire de la cycloïde = 3 fois celle du cercle générateur
	3D ou les trois dimensions géométriques de notre monde

3, 14	= 3, 14159 26535 …	Constante Pi
3, 16	= 3, 16227 76601 … =	Racine de 10, proche de Pi à 0,02 près (0,6%).
3, 33	3,333… = 30/9 = 10/3	Nombre périodique
3, 33	10^n+1 – 9n – 10 3 + 33 + … + 33…3n	Motif, avec les repdigits en 3, divisible par 27
	3^n | 33…3n	Un repdigit de 3n chiffres est divisible par 3^n
1/3	1/3 = 0,333 … 2/3 = 0,666 … 3/3 = 1	Les nombres divisés par trois sont soit périodique avec 3 pour décimale soit périodique avec 6 pour décimale soit entiers (divisible par 3)
2^3	2^3 + 3 = 11	Motif
3!	3! + 1 = 7	Factorielle plus 1 donne un nombre premier
3^6	3^6 = 729 3^2 = 9 3^3 = 27	Curiosité et moyen de retenir cette puissance.
3^n	3^2 -1 = 8 3^4 -1 = 80 3^6 -1 = 728 3^8 -1 = 6560 …	Toutes les puissances paires de 3, moins 1, sont divisibles par 8 Sinon (impair): divisible par 2
3^2& 3^3	1 + 3 + 5 = 9 = 3^2 7 + 9 + 11 = 27 = 3^3	Somme de 6 nombres impairs Voir Impairs, carrés et cubes Voir Belles formules
3^0	= 1	= 1
3^2	= 2 + 3 + 4	= 9
3^4	= 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13	= 81
3^6	= 14 + 15 + 16 +...+ 39 + 40	= 729
etc.	Le nombre de termes est 1, 3, 9, 27...
Somme	3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3+ 3^4 = 11² = 121	121 est la somme des diviseurs de 3^4 et cette somme est donc un carré. C'est le seul nombre premier présentant cette propriété

3 = 7 – 4 33 = 7² – 4² …	Motifs produisant une persistance du 3.
	Bicarré concaténation de deux cubes.

-Ý- DIVISIBLE par 3 

Divisible

Tous les nombres en	Condition	sont divisibles par
n^3 - n = (n-1) n (n+1)		3
a² - b²	avec a ou b non divisible par 3
ab ( a² - b² )
	même avec permutation des chiffres

Voir divisibilité par 3 / nombres abondants

NON divisible - Premier

Nombres en	Avec p = 3	Seul cas (p = 3) où
p + 2 p² + 2p - 8	3 + 2 = 5 9 + 6 – 8 = 7	ces expressions sont premières à la fois
p² + 8 p^3 + 4	9 + 8 = 17 27 + 4 = 31	ces expressions sont premières à la fois
2^p + p^2	8 + 9 = 17	cette expression est première

-Ý- PUISSANCES

3² + 4² =	5²
9 + 16 =	25
3^3 + 4^3 + 5^3 =	6^3
27 + 64 +125 =	216

Voir Triplets de Pythagore

-Ý- NOMBRE en SÉQUENCE*

372²	=	13 8 384
3372²		113 70 384
33372²		1113 690 384
333372²		11113 6890 384
3333372²		111113 68890 384

672²	=	45 1 584
6672²		445 15 584
66672²		4445 155 584
666672²		44445 1555 584
6666672²		444445 15555 584

Généralisation 

On retrouve ces figures pour tous les nombres de la forme :

En 3	En 6	En 9
3n A	6m B	9p C

Répétition de 3, 6 ou 9 en nombre quelconque

suivi d'un nombre quelconque

Exemple 

9123456789²	=	8 323746378 0750190521
99123456789²	=	98 2545968580 0750190521
999123456789²	=	998 24768190600 0750190521
9999123456789²	=	9998 246990410800 0750190521

-Ý- 3 Arithmétique PESÉES DE BACHET*

Leibniz

a démontré qu'on pouvait faire toutes les pesées possibles

avec une série de poids dont chacun est le DOUBLE du précédent.

Bachet

a montré qu'on peut faire la même chose avec des poids TRIPLES,

mais en utilisant les deux plateaux d'une balance

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