NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Débutants

Nombres

DicoNombre   NOMBRES

Glossaire

Nombres

 

0,9

0,5

0,1

0,01

0,001

0

1

2 / 3

4 / 5

6 / 7 / 8 / 9

10  / 15

20 / 50

100 / 500

1000

Nombre 1

Culture 1

Maths 1

De 1 à 1,5

Expressions en 1

Débutant 1

Culture 1 suite

Unité

De 1,5 à 1,9

Proverbes en 1

Quiz 1

Quantité 1

Racines de 1

Fractions = 1

Sciences

Repunit

Nombres en 1

Fractions Unitaires

Horloge maths

 

 

 

 

 

 

 

En bonne arithmétique:

Un plus un égale tout et

deux moins un égale rien.

Ninon de Lenclos (1616-1706)

Femme de lettres

 

En arithmétique de maternelle:

Un poussin égale deux.

Voir Pensées & humour

 

 

 

CARTE D'IDENTITÉ

 

 

1

 

 

Facteurs

1 = 1 x 1

Numération

Base 2

3

4

5

8

1

1

1

1

1

10

1

12

16

Romain

1

1

I

Diviseurs

1

Quantité

1

Somme

1

S - N

0

 

Caractérisation du nombre

*      unité

*      impair

*      non premier

*      ni premier, ni composé

*      idonéal

*      Pascal

*      Fibonacci

*      Catalan

*      Heegner

*      départ de nombreuses suites

Géométrique

 

*      premier nombre géométrique

*      triangulaire

*      carré, cube

*      pentagonal

 

Voir

Nom des nombres

Nombres selon langues

Nombres selon bases

Fonctions arithmétiques

 

 

PROPRIÉTÉS MATHÉMATIQUES générales

Général

*       Le nombre 1 est souvent dénommé l'unité.
Ne pas confondre avec chiffre des unités.

*       Tous les entiers naturels sont atteints en ajoutant 1 au précédent: Nn+1 = Nn= + 1.

*       Le nombre 1 présente beaucoup de propriétés comme le départ de suites. Pour ces raisons, le un est parfois appelé nombre lassant.

*       Il faut souvent l'éliminer pour énoncer une propriété.

Nombre

*      1, 3, 5, … 2n + 1

Nombres impairs: reste 1 lorsque divisés par 2.

>>>

*      1 n'est pas premier

C'est une convention pour obtenir des énoncés de théorèmes plus généraux.

>>>

*      1 = 32 – 23 = 9 – 8

Seule différence de deux puissances égales à un.

>>>

*      1 + 11 + 111 + … = K / 81

>>>

 

Arithmétique

*      a  x 1 = a            a  /  1  = a

*      a1       = a              1a      = 1

*      Log 1 = 0

Seul entier qui produit plus par addition que par multiplication.

Le 1 est l'élément neutre de la multiplication.

>>>

*      …1 x …1 = …1

Le produit de deux nombres se terminant par 1 se termine lui-même par 1.
Sauf à l'infini, où 1 est une limite possible parmi d'autres: la valeur de "un puissance infinie" est indéterminée.

 

>>>

 

>>>

*      Une fraction avec un 1 au numérateur est

une fraction unitaire base des fractions égyptiennes.

>>>

*      La quantité minimale de 1 nécessaire pour écrire

un nombre est appelée: complexité du nombre.

>>>

Algèbre

*      1 = 2      Démonstration (erronée!).

>>>

*      1 = i²    Fondement des nombres complexes.

>>>

Théorie des nombres

*      1           Nombre de Heegner.

>>>

Trigonométrie

*      sin (90°) = tg (45°) = cos (0°) = 1

Valeurs trigonométriques.

>>>

Géométrie

*      r = 1 rayon du cercle inscrit

dans le triangle de Pythagore (3, 4, 5)

>>>

 

PROPRIÉTÉS MATHÉMATIQUES détaillées

 

Fractions donnant 1

1 = 1/2 + 1/3 + 1/6

1 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/12

1 = 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/20

*       Somme de fractions égales à 1.

*       Nombres bons.

*       Nombres parfaits.

*       Somme des inverses des chiffres.

*       Somme de 5 fractions  = 1.

*       Nombre non-congruent.

*        Solution unique  en fractions égyptiennes.

1 = 1/5 + 1/3 + 7/15

    = 0,2 + 0,333 + 0,466 

*       Fraction donnant un entier.

1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

*       Car: 1 + x + x² + x3 + … = 1 / (1-x) pour x < 1

Ici cas où x = ½          Voir p-adiques

*       Fraction limite égale à 1.

*       Sommation avec des factorielles.

 

Formules donnant 1

*       Développement dont tous les coefficients sont à 1 (série génératrice).

1 = a² – (a – 1) (a + 1)

*       Relation entre 1 et le carré de tout nombre.

1 = sin² A + cos² A

*       Quel que soit l'angle A.   Voir Pythagore retrouvé.

*       Voir Explications.

1 = ½ (1 – i) (1 + i)

*       Nombres complexes.

*       Relation d'Euler.

1 =

*       Nombre d'or et son inverse.

Fonctions arithmétiques

1 = 100 %

*       Notation de cent pourcent.

1 = 0,999 …infinité de 9

*       Voir Explications.

1 = 1 0 = 1 1 = 1 2 = 1 3 = 1 n

*       Voir Impairs, carrés et cubes.

1 = racine continue de 0        

*       Ou, comment faire un nombre avec 0.

de 0 à 1

*       Valeurs limites d'une probabilité.

de – 1 à + 1

*       Valeurs limites du sinus et du cosinus.

1 = !2 =

*       Sous-factorielle de 2.

20 = 22 x 51

       (2 + 1) (1 + 1) = 6

*       Produit des exposants +1 = quantité de facteurs d'un nombre. Exemple avec 20:  ce nombre a six diviseurs: 1, 2, 4, 5, 10 et 20.

 

Jeux et curiosités

+ 1

*       En ajoutant 1, Euclide prouve qu'il existe une infinité de nombres premiers.

1 = 2 ?

*       Démonstrations fausses.

1 est

*       Point d’aboutissement de la séquence de Syracuse.

111…1

*       Est appelé repunit. On en connaît seulement 5 premiers, dont 11.

    11 x 11     =       121

  111 x 111   =    12321

1111 x 1111 = 1234321

*       Multiplications de repunit.

1/1 = 2/2 = ... = 9/9

*       Le plus petit entier écrit avec 2 chiffres et non 10, réponse le plus souvent donnée à cette question.

*       Le plus petit nombre serait: 0,1et non pas 1/9 = 0,1111…

1111      = 2,8… 1011   = 285 311 670 611

1111!  = 1,6… 102 903

(1111)! = 10???

*       Le plus grand nombre avec quatre 1, sans autres signes. On trouve plus grand avec signes: factorielle et plus grand encore avec parenthèses. >>>

1 = 35 – 3² – 5²

   = 75 – 7² – 5²

*       Ce motif n'existe que deux fois avec 1.

Voir Curiosité

1 = Ö4 Ö4 / 4 x 4/4

*       Faire 1 avec cinq 4.

Voir Faire 1 avec k chiffres identiques.

1 = ½  [ (a²)0 + 1 ]

*       Curiosité. Ce type de formulation peut servir dans les calculs de simplification et généralisation.

Logarithmes,  puissances, dénombrement …

1 = 32 – 23

*       Seul cas de différence de puissances égale  à 1.

1 = n² – (n – 1) (n + 1)

*       Différence entre carré et produit des nombres adjacents. >>>

1 = a² – k.b²

   = 97² – 3 x 56² (exemple)

*       Propriété de certains nombres exploitée par Brahmagupta.

1 = 103 + 93 – 123 = 1000 + 729 – 1728

*       Somme de trois cubes. Voir La formulation générale.

00...01

*       Puissances terminées par 1.

 est indéterminé

*       1 x 1 x 1 x  … x 1 = 1 est une valeur possible, mais il y en a d'autres.

 

Exemples

*       Somme des inverses de toutes les puissances pures.

Formule démontrée par Goldbach.

 

*       Valeur réelle de cette expression >>>

1 = log10 (2) + log10 (5)

   = 0,3010 ... + 0,6989...

   = log10 (2,5) + log10 (4)

   = etc.

*       Somme de log =  log du produit et
log10 (10) = 1

1 = log a a = log e e

   = log b a / log a b

   = 1 0  = e 0  = a 0 

*       Zéro, infini …

*       Logarithmes / Calcul des log

1 = 2 n . 4 -2n . 8 n

    = (a x )y - z . (a y )z - x . (a z )x - y

    = …

*       Puissances

1 = An0

   = Cn0

*       Arrangements et Combinaisons

 

Nombre – 1 et imaginaires

– 1  

*       Premier nombre entier relatif négatif.

*       Nombre de Heegner.

– 110    =   11112

*       En binaire informatique, le 1 initial indique que le nombre est négatif.
La valeur – 1 est codée avec tous les bits à 1.

*       Mais alors, le rapport d'une quantité petite à une grande est égal à celui d'une grande à une petite : paradoxe émis du temps de Pascal par Antoine Arnauld.

*       Relation d'Euler.

*       Base des nombres imaginaires ou complexes.
Certains préfèrent dire: i² = –1.

*       Une des trois racines cubiques de l'unité.

 

 

 

 

 

Suite

*    Voir le menu en haut de page

*    Nombres de 1 à 1,5

Voir

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