NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Débutants

Nombres

DicoNombre   NOMBRES

Glossaire

Nombres

 

Infini

 

Nombres décimaux

<1

 

0

Zéro – Nul – Rien - Vide

 

Un

 

5

10

20

100

Autres

Le 0 pour débutant

Carte identité

 

Tous les nombres

Nom des nombres

Le ZÉRO

Concept 0

Arithmétique 0

Sciences 0

Expressions en 0

Histoire 0

Culture 0

Algèbre 0

Proverbes avec 0

Zéro en quiz

Divers 0

Infini & zéro

Somme nulle

Jeux & Curiosités 0

Sommaire des pages du 0    >>> 

 

 

 

 

 

 

Pourquoi dans ce monde même les zéros, pour valoir quelque chose, doivent-ils être à droite ?

 

Eh, oui! 100 c'est sans doute beaucoup, mais 001 ce n'est que 1.

Voir Pensées & humour / Messages SMS / Tête à Toto

 

 

CARTE D'IDENTITÉ

 

Général

Mnémo

AS

Braille

Morse           

- - - - -

Écriture

0

Éviter confusion avec la lettre O – Le rond barré est une lettre scandinave

Maths: ensemble vide

Tableur, selon spécifications

0, - , rien

Notation en O non fermé, parfois utilisée pour éviter la confusion avec la lettre O

0

Partie nulle aux échecs lorsque le roi ne peut plus avancer sans être en échec.

pat

Suite en Culture 0

 

 

 

Caractérisation du nombre

 

*      Nombre entier

*      Ni composé

*      Ni premier

*      Mais bien pair !

*      Il a un comportement particulier

Repère: point origine

Limites

Voir Explications  / Nom des nombres / Repère / Limites

 

 

 

PROPRIÉTÉS MATHÉMATIQUES

Numération

*      0

Employé seul, zéro indique rien, vide.

>>>

*      105 & 15

Le zéro marque la place vide dans notre manière de compter.

>>>

*      24 => 240

Un 0 à droite, et le nombre est multiplié par 10.

>>>

Nombre

*      … ,  -2,  -1,   0,   1,  2, 

Charnière entre les nombres positifs et les nombres négatifs.

>>>

 

Arithmétique

*      a  + 0 = a

*      a  x 0 = 0

*      a  /  0    absolument interdit !

Attention aux opérations avec 0.

>>>

Algèbre

*      ax² + bx + c = 0

Équations: l'habitude consiste à rendre nul le membre de droite.

*      f(x) = 0

Le zéro d'une fonction en x est la valeur de x pour laquelle la fonction s'annule.

Le zéro d'un polynôme est sa racine.

Racine et zéro sont synonymes.

>>>

*      La fonction zéro est une fonction qui vaut toujours zéro.

 

Trigo.

*      Sin (0°) = cos (90°) = 0

Valeurs trigonométriques.

>>>

Ensemble

*      x  + e = x

Élément neutre e d'un groupe dont la loi est additive.

Généralisation de l'effet du 0 de l'addition classique à d'autres ensembles.

>>>

*      Card() = 0

Zéro est le cardinal de l'ensemble vide.

La quantité d'objets dans un ensemble vide est 0.

>>>

*      Ensemble des nombres rationnels Q

Ensemble de tous les nombres réels  p/q
où p et q sont des entiers relatifs avec q non nul.
La définition exclut n / 0 et 0 / 0

 

Proba.

*      P(x) = 0

Événement impossible, qui ne peut jamais se produire.

>>>

Logique

*      0, 1

L'une des deux valeurs binaires de la logique.

>>>

*      A   A = 0

Ou exclusif qui donne toujours la valeur zéro.

>>>

Géométrie

*      La dimension du point est 0; celle d'une droite est 1.

*      {0, x, y, z}

Origine des mesures sur les systèmes d'axes.

>>>

 

PROPRIÉTÉS CULTURELLES

Économie

*      Somme nulle

>>>

Géographie

*      Origine des repères géographiques: longitude, latitude.

*      Zéro hydrographique: niveau de la mer.

*      Ground Zero

Lieu où se trouvaient les tours jumelles de New York, objet des attentats du 11 septembre 2001.

>>>

Physique

*      Énergie du vide.

>>>

*      0°C

Point zéro: température de la glace fondante.

>>>

*      0°K = - 273,16 °C

Zéro absolu.

>>>

Calendrier

Temps

*      L'année 0 n'existe pas.

>>>

Étymologie

*      Sunia, Sifr, Zephirum

Le nombre 0 est une invention des Indiens, importée en Europe par les Arabes.

>>>

Linguistique

*      La boule à zéro, tout reprendre à zéro …

>>>

Numérologie

Ésotérisme

*      Le zéro est l'origine primitive de toute chose.

>>>

 

 

DÉCIMALES & autour du nombre

Divers

0, …

*      Tous les petits nombres de moins l'infini à 0,99…

>>>

 

           

 

 

Quelques réponses à des questions classiques sur le ZÉRO

 

NATURE DU NOMBRE ZÉRO

Zéro est

un nombre

*      Les nombres donnent la réponse à la question: "combien y a-t-il d'objets"?

*    Il y en a 2, il y a 1, il n'y en a pas (0),

*    Zéro doit donc être considéré comme un nombre.

Que zéro soit un nombre ou non est sans grand fondement dans la mesure où on décrète qu'il en fait partie, un point c'est tout. Comme quelqu'un qui appartient à un club ou non!

Zéro entier

non naturel

Whole number

or counting number

/ natural number

*      Les entiers naturels n'incluent pas le zéro.

*    Car, naturellement, on commence à compter à partir de un: 1 mouton, 2 moutons; s'il n'y a pas de mouton, on n'écrit rien.

*    Historiquement, on faisait une encoche pour commencer à compter.

*    Les Romains ne connaissaient pas le zéro …

*      Cette notion entiers / naturels n'a pas d'importance.

*    En maths, on utilise
 l'ensemble N (avec le 0) ou
l'ensemble N* (sans le 0)

Zéro ni positif

ni négatif

*      Zéro est au centre: … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …

Zéro est pair

*      Un nombre n est pair s'il existe un nombre k tel que n = 2k

*    Avec k = 0, n = 2 x 0 = 0 => 0 est pair.

*      Un nombre est pair s'il est divisible par 2; ce qui veut dire que le reste de la division est zéro

*    0 divisé par 2 donne un reste de 0 => 0 est pair.

*      Selon la liste des nombres

*    Nombres naturels                          1, 2, 3 …

*    Nombres entiers                        0, 1, 2, 3 …

*    Nombres relatifs:   … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …

Même si l'on faisait ces distinctions entre entiers et naturels, dans tous les cas  0 est pair.

*      La somme de deux nombres pairs et paire.

*    0 + 2 = 2 => exact avec 0 => 0 est pair.

Zéro

Ni premier

Ni composé

*      Un nombre premier est seulement divisible par 1 et par lui-même.

*    Or 0 est divisible par tout nombre (et donne 0), sauf par 0 (voir ci-dessous).

*    Zéro n'est donc pas premier.

*      Un nombre composé est le produit d'au moins deux facteurs premiers.

*    Or, pour donner un produit égal à 0, il faut que l'un des facteurs soit 0, lequel n'est pas premier.

*    Zéro n'est donc pas composé.

Zéro est multiple

de tout nombre

*      Le nombre x est multiple de n, s'il existe un nombre k tel que: x = kn

*    Dans notre cas x vaut 0,

*    prenons n = 8,

*    il existe bien un nombre k = 0 tel que 0 = 0 x 8,

*    ceci est valable pour tout autre nombre que 8.

Zéro est un carré

ou une puissance

ou une racine

*      Si      3 x 3 = 9 et que 3 = 9 alors 9 est le carré de 3.

*      Alors 0 x 0 = 0 donne 0 = 0 alors 0 est le carré de 0.

 

DIVISION par ZÉRO

 

n / 0

indéfini

*      Combien de fois 2 dans 8: réponse 4.

*    car 2 x 4 = 8.

*      Combien de fois 0 dans 8: réponse ?

*    car n x 0 = 0 mais jamais 8,

*    à moins de dire qu'il s'agit de l'infini: mais alors cela crée le bazar dans les lois de calcul.

*    L'ensemble des réels R ne contient pas un individu tel que l'infini.

*    Les mathématiciens préfèrent dire que cette fraction est indéfinie.

 

Preuve par l'absurde

*      Prenons les fractions successives 1 / (1/n).

Le dénominateur devient proche de 0 lorsque n devient très grand, et la fraction complète devient elle aussi très grande.

Admettons que nous appelions infini la limite:
1 / 0 =
.

*      Prenons maintenant 1 / (-1/n).

Lorsque n devient très grand la fraction donne un nombre négatif de plus en plus grand et la limite devient: 1 / 0 = - .

*      En déclarant que 1 / 0 est indéfini, ce genre de contradiction est évité.

 

 

0 / 0

indéterminé

*      Cette fraction n'est pas indéfinie, mais indéterminée.

*    Impossible de lui donner une valeur a priori.

*    Notion associée aux limites et qui dépend du contexte.

5x / x  = 5

Autres cas avec zéro >>>

 

0 0

indéterminé

*      Cette puissance est indéterminée entre 0 et 1.

 

   En effet, voici trois exemples:

Avec            0 x = 0

alors

0 x    = 0

Avec            x 0 = 1

alors

x 0    = 1

Et pour 0 < x < 1,

avec    ( x n ) 1/n = x

alors

( x n ) 1/n  = (0) 0 

qui vaut aussi x

 

    On peut encore ajouter:

lim  0 (1/n)    = 0

lim (1/n) 0    = 1

*          Par définition on pose: 00 = 1.

*    Le tableur Excel: ne reconnaît pas cette définition et affiche:  #NOMBRE!

*    Le logiciel mathématique Mapple donne bien 0^0 = 1.

Autres cas avec zéro >>>

 

 

Quelqu'un avait gravé un immense zéro au centre de sa table.

Voir Roman "au-delà du mal"  /  Pensées & humour

 

 

 

 

Suite

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*    Sommaire des pages du Zéro

*    Infini

Livres

*      Zéro – Denis Guedj - 2005

*      Zéro – La biographie d'une idée dangereuse – Charles Seife – 2002
-
 Zero: the biography of a dangerous idea)

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