NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Maths en se divertissant

 

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Atlas des maths

 

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Page 3 (40-59)

Page 4 (60-79)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 3

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

40.    Nombre 1729 – Taxicab

 

http://villemin.gerard.free.fr/Esprit/Ramanuja_fichiers/image008.jpgBlague de mathématiciens

Vers 1915, Hardy rend visite à Ramanujan hospitalisé. – Ça va t'amuser, j'ai retenu le numéro de mon taxi: 1729. Le mathématicien prodige indien lui répond instantanément: - Tu sais, ce nombre n'est pas quelconque. C'est le seul nombre qui peut être exprimé comme la somme de cubes de deux paires différentes de nombres.

 

Taxicab n°2

 

Nombres taxicab

Depuis les plus petits nombres, somme plusieurs fois de deux cubes, sont nommés nombres taxicab.

 

Avec deux fois, on trouve 1 729; et, avec trois fois la somme, le plus petit nombre est déjà dans la dizaine de millions:

 

Taxicab n°3

 

 Belle relation

63 + 83 + 103 = 123

216 + 512 + 1000 = 1 728

Pour en savoir plus

>>> Cubes

>>> Somme de cubes

>>> Nombres Taxicab

>>> Pépites numériques

>>> Somme des nombres successifs au cube

>>> Ramanujan

>>> Hardy

>>> Nombre 1 729

 

 

 

41.    Parenthèses – (a+b)(c+d)

 

Analogie avec un paquet de bonbons

Voyez cette équivalence: d'un côté 2 paquets de bonbons chacun contenant 2 bonbons bleus et 3 roses. De l'autre, la même quantité sous la forme de 2 fois 2 bonbons bleus et 2 fois 3 bonbons roses.

 

On écrit en abrégé:

2 (2B + 3R) = 2 x 2B + 2 x 3R

                     =       4B +        6R

 

Et d'une manière générale:

a (c + d) = a.c + a.d

 

 

Double dépliement de (a + b)(c + d)

Quel est l'élève qui n'a pas buté sur le développement de cette expression? Avec ce que nous venons de voir (à gauche), la solution va vous sembler facile (même si l'analogie avec les paquets de bonbons s'arrête là).

 

On fait néanmoins un paquet avec (a + b) que l'on nomme P. Alors:

(a + b) (c + d) = P (c + d)

Nous sommes revenus au cas que nous connaissons, alors développons:

P (c + d) = P.c + P.d

Deuxième étape, on remplace P par sa valeur:

(a + b) c + (a + b) d

Sur notre lancée, nous poursuivons le développement:

(a + b) c + (a + b) d

              = a.c + b.c + a.d + b.d

 

Nous tenons le développement complet de notre expression:

(a + b) (c + d) = a.c + b.c + a.d + b.d

 

Brèves associées

>>> Multiplications et parenthèses

Pour en savoir plus

>>> Bases du calcul algébrique

>>> Calcul avec parenthèses

>>> Trucs de maths – Ce qu'il faut savoir au collège, comment déjouer les pièges

 

 

 

42.    Nombres 0 et 1 – Binaire

 

Système décimal (10)

C'est la manière de compter des humains.

2345 = 2 x 1000 + 3 x 100 + 4 x10 + 5

On note plutôt:

2345 = 2 x 103 + 3 x 102 + 4 x101 + 5

Le petit chiffre indique combien de fois on multiplie par 10

 

Système binaire (2)

C'est la manière de compter des ordinateurs. Notre 10 (quantité de chiffres en décimal) est remplacé par 2 (quantité de chiffres en binaire).

 

Exemple

1101 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21  + 1

 Si on calcule la somme: 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

1101 en binaire est égal à 13 en décimal.

 

Les ordinateurs comptent à leur manière

Les ordinateurs ne reconnaissent que la présence d'un courant électrique (codé par 1) ou l'absence de courant (codé par 0).

Ils comptent avec seulement ces deux chiffres: 0 et 1.

 

Compter en binaire      et       additionner en binaire

Pour en savoir plus

>>> Décimal

>>> Binaire

>>> Nombre 0

>>> Nombre 1

 

 

 

43.    Périmètre et Aire 

 

Faire le tour

En faisant le tour du stade, ce coureur aura parcouru:

100 + 40 + 100 + 40 = 280 mètres

Deux fois la longueur plus deux fois la largueur.

 

Périmètre

Un mot facile à retenir en le comparant au mot périphérique, ces voies rapides qui font le tour de la ville.

 

attention.png  D'expérience, les plus jeunes ont beaucoup de difficulté à assimiler les mots: périmètre et aire.

 

 

Carreleur

Avant la pose, le carreleur prévoit les achats:

15 rangées de 30 carreaux, soit 450 carreaux pour couvrir toute la surface.

 

 

Aire ou surface

On préfère le mot "aire" lorsqu'il s'agit de la mesure d'une surface.

On définit la surface d'un corps, on en calcule son aire.

 

Le mot "aire" vient du latin area (surface, superficie) que les anglais on adopté tel quel.

 

Pour en savoir plus

>>> Périmètre

>>> Périmètre – Curiosités

>>> Mon petit formulaire

>>> Aire

>>> Origine des mots

 

 

 

44.    Fractales

 

Le flocon de neige – Fractale de Koch

En commençant avec l'étoile de gauche, sur chaque segment on implante un triangle sans base. On commence … La forme festonnées obtenue est une ligne fractale. Sa dimension n'est pas entière! Elle vaut 1, 26… à mi-chemin entre une courbe et une surface.

 

Itération sur le plan

L'idée ici est d'observer le comportement d'une fonction simple (x² + a) en un point du plan. La fonction prend rapidement de grandes valeurs, alors le point est peint en blanc, sinon il est matérialisé en noir.

Ce résultat simple appliqué à tous le plan produit la figure du "pou". Elle es très facile à programmer même avec un logiciel abordable par tous comme Scratch.

 

 

Figure fractale dite du "pou" et zoom

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/FracDebu_fichiers/image004.jpg http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/FracDebu_fichiers/image008.jpg

En zoomant sur cette figure, on retrouve inlassablement cette même figure du "pou" parmi des formes de grande beauté (comme celle montrée à droite).

 

Il existe de nombreuses figures fractales dans la nature (ligne de côte ou encore la rose des sables)

 

Éponge de Menger

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Suite/Image1426.gif

Magnifique exemple de fractale en relief (3D). Sa dimension fractale est égale à 2,72… Pas un vrai volume (dimension 3), ni bien sûr une surface (dimension 2)

 

Pour en savoir plus

>>> Fractales

>>> Nombres 4,699…

>>> Constante de Feigenbaum

>>> Programmation fractale avec Scratch

 

 

45.    Nombre 1,61818… – Nombre d'or

 

Fraction approximant le nombre d'or (Phi)

 

Nombre décimal périodique

Le nombre 1,61818 … est un nombre comprenant une partie entière (1) et une partie décimale (61818…).

Il est vu aussi comme ayant une partie fixe (1,6) et une période (18).

 

Amusants!

  9/99 = 0,090909…

19/99 = 0,191919…

55/99 = 0,555555…

70/99 = 0,707070…

98/99 = 0,989898…

 

Conversion d'un nombre purement périodique

En multipliant par 100, on isole une partie entière égale à la période. La soustraction élimine la partie décimale. Reste à effectuer la division et à simplifier la fraction.

 

Conversion d'un nombre avec partie fixe

La conversion s'applique successivement à la partie fixe puis à la partie périodique.

 

Pour en savoir plus

>>> Nombre d'or

>>> Nombre 99

>>> Nombre 1,61818…

>>> Fractions

>>> Nombres périodiques

>>> Conversion décimal / fraction

 

 

 

 

46.    Infini  - http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/InfiniP1_fichiers/image017.gif

 

Infini paradoxal

Nombres entiers: 1, 2, 3, 4 …

Nombre impairs: 1, 3, 5, 7 …

Nombres pairs: 2, 4, 6, 8 …

Nombres au carré: 1, 4, 9, 16 …

Vous conviendrez que chacune de ces énumérations ne s'arrêtent jamais. On dit qu'il y a une quantité infinie de nombres entiers.

Mais, c'est vrai aussi pour les autres. C'est le même infini? Ben, oui!

 

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Nombre/InfiniP1_fichiers/image013.jpg

 

Nombres réels et nombres entiers

L'infini des nombres entiers est "moins riche "

que l'infini de la quantité de points sur une droite.

 

Infini infiniment paradoxal

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/NbInfini/Intro_fichiers/image029.jpg 

Le segment AC est l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Sa longueur se calcule avec le théorème de Pythagore:

AC² = AB² + BC² = 5² + 10² = 125

AC = 11,18 unités

Imaginons AC comme les marches d'un escalier. Chaque marche horizontale se projette sur BC; alors la longueur de toutes ces marches est égale à BC. De même pour les faces verticales des marches qui se projettent sur AB; alors leur longueur totale est égale à AB.

En résumé: la longueur de l'escalier est égale à AB + BC = 5 + 10 = 15, et cela quelle que soit la taille des marches, même extrêmement petites.

Paradoxe: AC = 11,18 ou AC = 15 unités?

 

Solution: l'infini continu (segment) est différent de l'infini discret (marches).

 

Conclusion: Il existe plusieurs sortes d'infinis

 

Pour en savoir plus

>>> Infini

>>> Nombres entiers

>>> Nombres réels

>>> Triplets de Pythagore

>>> Diagonale de Cantor

>>> Hypothèse du continu

 

 

 

47.    Démonstration en géométrie

Démonstration en géométrie

Une démonstration est un raisonnement rigoureux qui, à partir de données (les hypothèses) aboutit à des conclusions (ce qu'il faut démontrer – CQFD) et, cela en appliquant des théorèmes (propriétés) connus, car déjà démontrés.

En remontant à la source des théorèmes, on trouve les axiomes, comme ceux d'Euclide: des propriétés que l'on pose comme évidentes, indémontrables.

 

 

Exemple de démonstration

 

Hypothèses

Dans un cercle de centre O, on trace un angle inscrit  nommé plus simplement angle A. On trace également l'angle au centre  nommé plus simplement angle O.

 

Ce qu'il faut démonter

Montrer que la mesure de l'angle O vaut deux fois celle de l'angle A.

 

Théorèmes utilisés

1.    Dans tout triangle, la somme des angles vaut 180°

2.    Un triangle ayant deux côtés égaux est un triangle isocèle.

3.    Dans un triangle isocèle les angles opposés au sommet sont égaux.

 

Raisonnement

Les segments OA, OB et OC sont des rayons du cercle: ils ont même longueur.

Les triangles AOB, AOC et BOC ayant deux côtés de même longueur sont isocèles.

Leurs angles, deux à deux, sont égaux. En termes d'angles, on a:

a = a' ; b = b' ; c = c'

 

En évaluant l'angle O et appliquant le théorème 1, plusieus fois.

O = 180 – (b + b')

O = 180 – (B – a') – (C – c')

O = 180 – B + a – C + c

O = 180 – B– C + A

O = A + A = 2A  

 

Le carré noir indique que la démonstration est terminée.

Pour en savoir plus

>>> Bases de la géométrie

>>> Triangle isocèle

>>> Angles dans le cercle (présentation complète de cette démonstration)

>>> Démonstrations – Types 

>>> Les axiomes d'Euclide

 

 

 

48.    Nombres carrés

 

Carré et carré

Très tôt dans notre scolarité nous savons calculer la surface d'un carré ou d'un rectangle.

 

Aire du carré: ABCD  = c x c  = c2

 

 

Sur le terrain

Nous savons que la superficie d'un terrain se compte en mètres carrés et on écrit m². Le petit 2 en exposant signifie ce nombre est le produit de deux mesures en mètres.

 

Les premiers carrés

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 …

 

 

Nombres carrés

Si l'on s'intéresse à une bordure en équerre du carré, on trouve une nombre impair (9). Le carré est finalement la somme de tous ces nombres impairs successifs: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5².

 

Écart entre carrés successifs

5² = 25 et   25 + 5 + 6 = 36 = 6²

Pour passer au carré suivant, il suffit d'ajouter le nombre et son suivant. Aubaine pour le calcul mental.

(n + 1)2 – n2 = n + (n + 1)

Pour en savoir plus

>>> Nombres carrés

>>> Calcul des carrés sur les doigts

>>> Carré en géométrie

 

 

 

49.    Pythagore de Samos (580-495 av. J.-C.)

Il est né à Samos, sur une île à l'ouest de la Turquie actuelle

 

Philosophe grec à l'origine d'importants développements en mathématique, astronomie et musique. Il entreprend des voyages d'étude qui le mènent en Perse, en Gaule, en Crète, en Égypte.

Fondateur de l'école philosophique et religieuse à Crotone (Italie du sud) qui pratiquait le secret en externe et le partage des connaissances en interne. Pythagore mourra lors de l'incendie de l'École.

Connu des collégiennes pour son fameux théorème qui lie les mesures des côtés d'un triangle rectangle. Il fut le premier à l'avoir démontré. Il était connu mille auparavant des Babyloniens.

Suite à leurs observations, et même leurs émerveillements en mathématique, en astronomie et en musique, Pythagore et ses adeptes pensaient que le monde était décrit par les nombres entiers. La diagonale du carré ne rentrait pas dans ce paradigme et cela jeta un trouble. En effet, avec un carré de côté unité, la diagonale mesure racine carré de 2, un nombre incommensurable (une infinité de chiffres différents derrière le virgule, donc u nombre irrationnel) 3

En astronomie, les pythagoriciens sont les premiers à considérer la Terre comme une sphère en révolution, avec d'autres planètes, autour d'un feu central. 

 

Brèves liées

>>> Les grands savants de l'Antiquité – B17

>>> Triplets de Pythagore – B25

Pour en savoir plus

>>> Pythagore

>>> Contemporains

>>> Nombres entiers

>>> Nombres irrationnels

>>> Racine de 2

>>> Triangle rectangle

>>> Théorème de Pythagore

>>> Triplets de Pythagore

 

 

 

50.    Suite miroir

 

Énigme

Que cache cette séquence? Sauriez-vous deviner la suite?


 

 

Solution

Couper chaque figure en deux par un trait vertical.

La symétrie révèle les chiffres successifs.

 

Avant 1970, ce puzzle n'était pas très connu et, il était présenté à des personnes de divers niveaux d'éducation. En général, le taux de réussite était plus grand avec les élèves de l'école primaire qu'auprès de ceux des grandes écoles.

Pour en savoir plus

>>> Séquence miroir

>>> Énigmes classiques

>>> Jeux et énigmes

 

 

51.    Carré magique 5x5

 

Un carré magique est une grille de chiffres telle que la somme des nombres sur les lignes, les colonnes et les diagonales sont identiques.

 

La constante magique est égale à la somme de tous les nombres de 1 à 25 divisée par 5 = 25 x 26 / 10 = 65.

 

La construction est très simple:

*       Placer le 1;

*       Mettre les nombres suivants le long d'une diagonale montante. Si ça déborde, faire comme si la grille était enroulée. Voyez la position du 4 après le 3; et

*       À chaque multiple de 5, descendre d'une case. 

 

Carré magique 5x5

 

La somme des extrémités des "diagonales" est égale à 26.

Il existe plusieurs millions de tels carrés magiques 5x5.

Brèves associées

>>> Carré magique 3x3

Pour en savoir plus

>>> Carré magique 5x5

>>> Carré latins

>>> Somme des entiers successifs

>>> Carré magiques de toutes sortes

>>> Sudoku

>>> Constante magique

 

 

52.    Nombre 3 – TROIS

 

Propriétés

Le nombre 2 est un nombre impair,

Tous les nombres premiers à partir de 3 sont impairs.

En romain 3 devient III et en binaire 3 s'écrit 11, car 3 = 21 + 20.

C'est un nombre triangulaire:

 

Divisibilité

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres l'est. Un nombre diminué de la somme de ses chiffres est divisible par 3:
Ex: 46 – ( 4 + 6) = 36 = 3 x 12

Le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 3.
Ex: 41 x 42 x 43 est divisible par 3 car 42 l'est.

 

Symbole

Le nombre trois est souvent associé au divin: trinité des chrétiens, la triade juive, Trimurti chez les Hindous, les trois véhicules bouddhiques, etc.

 

 

Carrés

Le nombre 3 au carré est le premier terme du célèbre triplet de Pythagore:

 

Géométrie

Trois points définissent un plan. C'est ce qui explique la stabilité d'un tabouret à trois pieds (anglais: stool).

 

Une figure à trois côtés est un triangle.

Un point de l'espace est défini par trois coordonnées. L'espace à trois dimensions (3D).

 

Amusements

1, 2, 3 partez.

Trois petits tours et puis s'en vont.

Jamais deux sans trois.

Trèfle vient de trifolium, trois feuilles.

Les trois petits cochons.

 

Brèves associées

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>>> Nombre 4

Pour en savoir plus

>>> Nombre 3 – Culture

>>> Nombre 3 – Maths

>>> Nombre 3 - Quantité

>>> Triangle

>>> Triplet de Pythagore

 

 

53.    Divisibilité des carrés et des cubes

Quel est de degré de divisibilité du carré ou du cube d'un nombre?

On distingue le cas des nombres pairs qui sont de la forme (2k)

et le cas des nombres impairs (2k + 1).

PAIR (2k)

IMPAIR (2k + 1)

 

Un nombre pair au carré:

(2k)² = 4k²

 

Un nombre pair au carré est divisible par 4.

 

 

Exemples

10² = 100 = 4 x 25

12² = 144 = 4 x 36

 

Un nombre impair au carré:

(2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4 k (k+1) + 1

 

Un nombre impair au carré, diminué de 1, est divisible par 8.

 

Exemples

11² – 1 = 120 = 8 x 15

13² – 1 = 168 = 8 x 21

 

Un nombre pair au cube

(2k)3 = 8k3

 

Un nombre pair au cube est divisible par 8.

 

Exemples

43 =   64 = 8 x 8

63 = 216 = 8 x 27

Un nombre pair au cube

(2k + 1)3 = 8k3 +12k2 +6k + 1 = 2H + 1

 

Un nombre impair au cube est impair.

 

Exemples

53 = 125

73 = 343

Un nombre pair à la puissance k

est divisible par 2k.

Un nombre impair à la puissance k

est impair.

Brèves associées

>>> Nombres pairs et impairs

Pour en savoir plus

>>> Carrés

>>> Cubes

>>> Divisibilité des carrés

>>> Divisibilité

 

 

54.    PUISSANCES

 

Multiplication et Puissance

Comme la multiplication est une forme abrégée pour noter une série d'additions, la puissance est une forme abrégée pour noter les multiplications multiples.

 

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 x 4

4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 45

On lit 4 à la puissance 5. Le nombre 5 est l'exposant. On peut aussi noter: 4^5.

 

Intérêt des puissances

Propriété qui découle directement de la définition

Pour multiplier deux puissances d'un même nombre, on ajoute les exposants. Pratique, non?

 

Puissances 0 et 1

a0 = 1    &   a1 = a

 

 

Puissance de 2

 

Puissance de 10

 

Puissances négatives

 

Une puissance négative est l'inverse d'une puissance.

 

Puissances fractionnaires

 

Brèves associées

>>> Puissance de 2 et échiquier

Pour en savoir plus

>>> Puissances (normales, négatives, fractionnaires …)

>>> Puissances de 2

>>> Puissances de 10

 

 

 

55.    Arithmétique

 

Définition

Branche des mathématiques qui considère les propriétés des nombres pour compter (dénombrer) et calculer.

Études

*      des nombres entiers et des autres nombres,

*      des relations entre eux, et

*      des techniques ou opérations permettant de les manipuler.

 

Étymologie

Du grec arithmetike: de arithmos,  nombre, et techne, qui est relatif à un art ou à une compétence.

 

Synonymes

*      Calcul – Sens restrictif (quatre opérations)

*      Théorie des nombres (élargie aux propriétés sur la structure des nombres)

 

Anglais

Arithmetic is a branch of mathematics that deals with properties of the counting numbers and fractions and the basic operations applied to these numbers.

 

Amusement

L'arithmétique, c'est être capable de compter jusqu'à vingt sans enlever ses chaussures.      Walt Disney

 

Questions (exemples)

*      Comment dénombrer un troupeau, une récolte.

*      Comment calculer un prix, une durée, un nombre d’ouvriers...

*      Comment  comparer des  masses,  des  prix;  problèmes  de  conversions,  de comparaison absolue et relative.

*      Comment partager des  richesses, des biens, des ressources, des productions.

 

Techniques

*      Base de numération (formation des nombres),

*      Opérations: addition, soustraction, multiplication, division, et d'autres (puissance, racine)

*      Format des nombres (nombres entiers, décimaux, fractions)

*      Système d'unités utilisé pour pratiquer des mesures, des estimations.

 

Extension

L'arithmétique est la science des nombres au sens large. Aujourd'hui, elle s'étend  aux nombres réels et à des opérations avancées comme l'exponentiation.

L'arithmétique modulaire s'intéresse aux restes de la division par un nombre donné.

 

Brèves liées

>>> Arithmétique modulaire

>>> Calcul et maths

Pour en savoir plus

>>> Arithmétique

>>> Les quatre opérations

>>> Nombres

>>> Nombres entiers

 

 

56.    Jeu de dés  (Anglais: dice game)

 

Le dé à jouer

http://artist-3d.com/free_3d_models/uploads/dice-game-cube-die-gambling-gaming-img.jpgCube  dont les six faces sont marquées de 1 à 6 points.

Deux faces opposées totalisent 7.

 

Chance d'obtenir un 6

Si le dé n'est pas pipé, on a la même chance (la même probabilité) d'obtenir chacun des nombres de 1 à 6.

À la longue, sur des milliers de lancés (disons 6000), on devrait avoir la même quantité pour chacun des chiffres: mille fois le 1, mille fois le 2 ... mille fois le 6.

On a donc; 1000 fois le 6 pour 6000 lancés. On dit qu'on a une probabilité de 1000 sur 6000 d'avoir le 6; et, en simplifiant la fraction: une probabilité de un sur six. Ou, en calculant un pourcentage: 16,66%

 

Probabilité

C'est une fraction dont le numérateur est la quantité de coups favorables et le dénominateur la totalité des coups.

Cela, à condition de compter un très grand nombre d'événements.

Au dé, on a une chance sur six d'avoir un 6, mais en lançant le dé six fois, il n'est pas certain d'obtenir un 6. On peut même obtenir six fois le 1 d'affilé.

 

Curiosité

Avec deux dés, la probabilité d'avoir une somme égale à 7 est de 1/6. Il y a, en effet, six possibilités de faire la somme 7:

(1+6), (2+5), (3+4), (4+3), (5+2) et (6+1).

 

 

Avec deux dés

Comment calculer la probabilité d'avoir un double 6?

Imaginons une route pour aller d'ici au double 6.

Alors, il a un choix parmi six routes au départ, numérotées de 1 à 6. Avec le premier dé, nous nous engageons sur la route indiquée par le numéro tiré.

En bout de ce premier tronçon, le lancé du second dé nous indique quelle est la route suivante à emprunter.

 

Il y a finalement 35 façons de se fourvoyer contre une seule façon d'arriver au double 6.

La probabilité du double six au lancé de deux dés est égale à 1/36.

Pour en savoir plus

>>> Jeu de dé

>>> Jeux et énigmes – Index

>>> Dénombrement

>>> Probabilités

 

 

 

57.    Nombres uniformes –Repunit

 

Repunit

Les nombres uniformes sont formés avec un seul chiffre.

Avec le chiffre 1, on les nomme aussi repunit (répétition de l'unité, un mot-valise).

Ce sont: 11, 111, 1111 …

 

Curiosité: pyramide en 1

 

Curiosités: cubes

  113 =          1331 et 1+3+3+1     = 8 = 23

1113 = 1 367 631  et 1+3+…+1 = 27 = 33

 

Nombre en 1 et nombre en 9

 

Divisibilité

Tout repunit dont la quantité de chiffres est divisible par 2 est divisible par 11.

 

Tout repunit dont la quantité de chiffres est divisible par 3 est divisible par 3.

 

Repdigits premiers

On n'en connait que cinq:

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Formes/RepUnit_fichiers/image045.jpg

L'indice indique la quantité de 1.

 

Pour en savoir plus

>>> Repunit

>>> Divisibilité

>>> Nombre premier

>>> Mot-valise

 

 

58.    Division – Exemple: 654 / 5

La division euclidienne consiste à effectuer la division sur le nombre entier (sans virgule).
Le résultat est un quotient et un reste. Ici: 654 = 5 x 130 + 5.

La division est notée aussi bien:  

 

Division euclidienne

On effectue la division jusqu'à obtenir un reste inférieur au diviseur (ici 5).

Lorsqu'on abaisse le dernier chiffre 4, on effectue la dernière opération et on s'arrête. Le reste (ici 4) est le reste final à annoncer.

 

Résultat

654 = 5 x 130  + 4

Je vérifie le résultat pour vérifier l'ordre de grandeur; notamment pour confirmer la présence du 0 dans 130.

3 x 130 + 4 = 650 + 4 = 654.

 

Si le reste n'est pas nul, la division décimale consiste à poursuivre la division euclidienne en ajoutant une virgule au nombre à diviser et des zéros derrière la virgule. On continue la division normalement jusqu'à obtenir un reste nul ou des chiffres qui se répètent au quotient, ou, tout simplement, on a une quantité de chiffres suffisant.

Division décimale

Elle consiste à imaginer que 654 est suivi d'une virgule et de zéros; ce qui ne change pas la valeur:

654 = 654,000

 

On poursuit normalement la division après avoir placé une virgule également dans le diviseur. Ici une seule opération supplémentaire suffit pour obtenir un reste nul.

 

Résultat

654 = 130,8 x 5

Je vérifie le résultat: 130,8 x 5 = 654.

 

Pour en savoir plus

>>> Division euclidienne

>>> Division décimale

>>> Nombres entiers

>>> Nombres décimaux

 

 

59.    Triangles

 

Définitions

Ligne brisée fermée à trois segments.

Polygone à trois côtés.

Figure géométrique à trois angles (étymologie).

 

Quatre types principaux de triangles

*       Quelconque: aucune propriété particulière;

*       Isocèle: deux côtés sont égaux;

*       Équilatéral: trois côtés sont égaux;

*       Rectangle: un des angles est droit (90°).

 

Types de triangles

 

Les flèches indiquent les combinaisons possibles. Le triangle isocèle peut être aussi bien obtusangle, rectangle ou acutangle.

Autres types

*       Obtusangle: un des angles est obtus (> 90°);

*       Acutangle: les trois angles sont aigus (< 90°);

*       Rectangle isocèle: un angle droit et deux côtés égaux;

*       Scalène: les trois côtés sont inégaux.

Angles

La somme des trois angles est égale à 180°.

Chacun des angles du triangle équilatéral vaut 60°.

Plan

Les trois sommets du triangle définissent un plan. Les côtés délimitent un intérieur et un extérieur.

Notation: le triangle ABC est noté:  .

Brèves associées

>>> Triangle rectangle

>>> Droites dans le triangle

Pour en savoir plus

>>> Types de triangles

>>> Somme des angles dans le triangle

 

 

 

 

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