NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Page 9 (160-179)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 8

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

140.            Factorisation

Factorisez

a² (b – c) + b² (c – a) + c² (a – b)

Développement

a²b – a²c + b²c – b²a + c²a – c²b

Mise en ordre

a²b – ab² – a²c – bc² + b²c + ac²

On ajoute abc et on le retranche

abc + a²b – ab² – a²c – bc² + b²c + ac² – abc

Factorisation en deux termes

a (bc + ab – b² – ac) – c (bc – b² – ac + ab)

Même facteur en commun

(a – c) (bc – b² – ac + ab)

Factorisation de la parenthèse

(a – c) (b – a) (c – b)

Pour en savoir plus

>>> Identités particulières

>>>  Calcul avec parenthèses

>>> Tracas classiques de calculs

 

 

141.            Petit théorème de Fermat

Exemple de calcul avec 7

Prenons le produit de tous les nombres inférieurs à 7 :

1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 6 !

En multipliant  par 2 chaque nombre

2 x 4 x 6 x 8 x 10 x 12 =   26 x 6 !

En modulo 7 (reste de la division par 7) pour chaque chiffre

2 x 4 x 6 x 1 x 3 x 5    26 x 6 !

Ce produit est celui du début (pas dans le même ordre), alors, on remplace :

6 !   26 x 6 !

 

On a la même chose en multipliant par 3:

3 x 6 x 2 x 5 x 1 x 4  36 x 6 !

Idem pour 4, 5 et 6. Mais, pas par 7 car alors 76 est divisible par 7.

 

Allons un peu plus loin

Suite à cette petite manipulation astucieuse, on a donc :

Dans factorielle 6, il n’y aucun diviseur de 7, on peut diviser par 6 !

Ce que l’on vérifié aisément : 64  = 6 x 7 + 1

Simple, certes ! Mais généralisable.

 

Attention ça ne marche que pour des nombres tels que 7 et tous ses compagnons premiers.

Petit théorème de Fermat – Exemple

114 = 115 – 1  1 mod 5

14 641  = 2928 x 5 + 1

Théorème

Pour tout nombre p premier.

Valable tant que a n’est pas multiple de p

Pour en savoir plus

>>> Petit théorème de Fermat

>>> Calcul modulo

>>> Pierre de Fermat

 

Suite de la brève précédente

142.            Nombre pseudo premier

Le petit théorème de Fermat est vrai pour p premier. Très bien ! Mais, existe-t-il des nombres composés pour lesquelles cette relation est aussi vraie.

Les Chinois pensaient que non (attesté vers 500 av J.-C.), à tort.

 

Par contre, si la propriété de Fermat n'est pas vérifiée, le nombre p est composé.

 

En 1819, on découvre que 341, nombre composé est tel que :
2340 – 1 est divisible par 341.

Les  nombres composés ayant cette propriété des nombres premiers sont appelés nombres pseudo-premiers.

Même s’ils sont rares, il y en a une infinité. Jusqu’à 1010, il y a 455 052 512 nombres premiers et 14 884 nombres pseudo-premiers.

Le plus petit pseudo-premier pair est 161 038, découvert en 1950.

Pour en savoir plus

>>> Nombres premiers

>>> Nombres composés

>>> Nombres pseudo-premiers

>>> Nombres de Carmichaël

 

 

143.            Orthographe des nombres

Règle

La règle en vigueur depuis 1990 est résumée sur le tableau de droite.

Avec le trait d'union systématique, on distingue désormais sans ambiguïté:

*      soixante et un tiers (60 + 1/3) et

*      soixante-et-un tiers (6 1/3).

 

Exemples

 

 

Pour en savoir plus

>>> Nombres en toutes lettres

>>> Orthographe des collectifs

>>> Orthographe – Index

>>> Nombres par ordre alphabétique

>>> Langue et linguistique – Index

 

 

144.            Nombre 8 – HUIT

Infini

En me couchant, je glisse jusqu'à l'infini

 

Propriétés

Nombre pair, cube de 2:
8 = 2 x 2 x 2 = 23

Aussi somme de deux carrés:
8 = 2² + 2²

Les nombres 8 = 23 et 9 = 32 sont les deux seules puissances de nombres consécutifs.

Le carré d'un nombre impair, diminué de 1, est divisible par 8:

11² – 1 = 121 – 1 = 120 = 8 x 15

 

Curiosités numériques

8 = 5 + 1 + 2 et 512 = 83.

1000 = 888 + 88 + 8 + 8 + 8

 

Découpe du gâteau en 8

Il suffit de trois coups de couteau: deux selon des diamètres et un horizontal découpant deux disques.

 

Musique

La gamme comporte huit notes: do, ré, mi, fa, sol, la, si, do ou C, D, E, F, G, A, B, C chez les anglo-saxons.

 

Informatique

Un octet est un regroupement de 8 bits (byte en anglais).

On compte en octal en désignant trois bits par un chiffre. Alors, huit chiffres suffisent.

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Polygone/Octogone_fichiers/image004.jpg

Géométrie

Une figure (polygone) à huit côtés est un octogone. C'est la forme du panneau routier STOP. il est facile à dessiner en traçant un cercle, le carré inscrit et les deux diagonales.

 

Brèves associées

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>>> Binaire

>>> Nombre 9

Pour en savoir plus

>>> Nombre 8 – Culture

>>> Nombre 8 – Maths

>>> infini – Symbole

>>> Octogone

>>> Jeux des huit 8.

>>> Notes de musique

 

 

145.            Plus grand nombre avec 3 chiffres

 

Trois chiffres 2

Savez quel est le plus grand nombre qu'il est possible d'écrire avec trois fois le chiffre 2?

On peut écrire 222, mais ce n'est pas le plus grand nombre.

Avec un 2 porté à la puissance 22 (le nombre 2 multiplié vingt-deux fois par lui-même), on obtient un nombre qui dépasse les quatre millions: quatre-millions cent-quatre-vingt-quatorze-mille trois-cent-quatre.

 

Trois chiffres 3

On peut écrire 333, mais ce n'est pas le plus grand nombre.

Comme avec 2, le plus grand nombre est 3 puissance 33 = 5,5… x 1015 = cinq-mille-cinq-cent-cinquante-neuf-billions soixante-milliards cinq-cent-soixante-six-millions cinq-cent-cinquante-cinq-mille cinq-cent-vingt-trois.

 

Trois chiffres 9

On peut écrire 999, bien sûr, dépassé par 999  qui est un très grand nombre, voisin de 1095 (un 1 suivi de 95 zéros).

Mais, cette fois, il est possible de faire mieux avec 9 à une puissance égale à 9 à la puissance 9. On écrit  (maths ou linéaire):

Ce nombre comporte 369 693 100 chiffres.

 

 

Toujours plus grand

L'introduction de l'opérateur factorielle est un moyen de faire exploser le compteur! Car 9! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9 = 51 840.

Notre plus grand nombre flanqué de factorielle devient:

 

Un nombre avec plus de 10 2 millions de chiffres.

 

Les mathématiciens ont inventé des notations sophistiquées pour désigner de tels nombres géants.

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Pour en savoir plus

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>>> Nom des grands nombres

>>> Notation des très grands nombres

 

 

146.            Angles

Unités

Les angles se mesurent en degrés. Il faut 360° pour faire un tour complet.

Un tour complet sur la circonférence d'un cercle de rayon unité mesure .

 

Les mathématiciens ont adopté une autre unité d'angle, appelée radian, qui égale 360° à .

Le demi-tour vaut alors  radians et le quart de tour  radians.

 

Types

L'angle droit mesure 90°. Plus petit, l'angle est aigu et plus grand, il est obtus.

 

Bissectrice

La bissectrice est la demi-droite qui partage un angle en deux angles égaux.

 

Astuce de construction – Angle de 60° 

La médiatrice d'un rayon coupe le cercle. Le rayon issu de cette intersection forme un angle de 60° avec le rayon initial.

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Prof/Maths6_fichiers/image100.jpg

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>>> Angles – Index

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147.            Nombres géométriques

 

Nombres figurés/ géométriques / polygonaux

 

Nombres formant des figures géométriques

Depuis l'Antiquité, les hommes ont été séduits par les figures géométriques. Il s'agissait de créer des dessins plus faciles à retenir ou à manipuler. Ce fut le cas pour les étoiles dans le ciel avec le dessin des constellations.

Les mathématiciens de cette époque firent de même avec les nombres, en les arrangeant selon les figures géométriques les plus simples qu'ils connaissaient: le triangle, le carré, le pentagone, etc. les polygones.

 

Exemple des nombres carrés

http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/NbFigure_fichiers/image059.jpg

 1,    4,    9,    16,    25 …

La figure montre leur formation à partir du précédent et, en remontant, la formation des carrés comme somme des nombres impairs:

5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9

 

http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/NbFigure_fichiers/image018.jpg

Le nombre 3 est triangulaire.

http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/NbFigure_fichiers/image018.jpg

Le nombre 4 est carré.

http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/NbFigure_fichiers/image018.jpg

Le nombre 5 est pentagonal.

 

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148.            Ensembles des nombres

 

Nombres entiers N: 1, 2, 3 …

Ce sont les nombres ordinaires, ceux utilisés pour compter; des nombres ronds et positifs. Avec l'addition, la somme reste dans le monde des nombres entiers.

Par contre, avec la soustraction, on peut obtenir des nombres négatifs.

 

Nombres relatifs Z: …, -2, -3, 0, 1, 2, 3…

Les nombres entiers accompagnés d'un signe plus ou d'un signe moins. Avec l'addition, la soustraction et la multiplication, le résultat est bien un nombre relatif.

Par contre, avec la division, on peut obtenir des fractions qui ne se simplifient pas.

 

Nombre rationnels Q: 1/2, -3/4, 1, 2 …

Les fractions sont ajoutées. Cette fois les quatre opérations peuvent être effectuées et le résultat reste dans le monde des rationnels.

Mais il existe des nombres qui ne sont pas des fractions, comme racine de 2.

 

Nombre réels R comme

Ce sont les nombres avec des chiffres derrière la virgule qui ne se répètent jamais. 

Certains ne sont même pas exprimables sous forme algébrique (polynôme); ce sont les transcendants, comme .

 

 

Emboitement des ensembles de nombres

 

Nombres complexes C: a + ib

Une invention bien pratique qui consiste à associer les nombres par paires et à introduire un nombre imaginaire i tel que i² = -1. 

Cet artifice permet de résoudre une grande quantité d'équations et de problème de toutes sortes en maths comme en physique.

 

Quaternions

Sorte de nombres complexes à quatre composantes. Les octavions en ont huit.

Ils sont utilisés en mécanique quantique, par exemple.

 

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149.            Somme des inverses des nombres

 

Série harmonique

La somme des inverses des nombres entiers naturels, que l'on appelle aussi série harmonique, grossit de plus en plus pour atteindre l'infini.

C'est Nicole Oresme qui le prouve au XIVe siècle.

 

Croissance

Oui, elle diverge, mais très lentement:

*      H =   2, 9289…  pour 10 termes

*      H =   5,1873…   pour 100 termes

*      H =   7,4854…   pour 1000 termes

*      H = 14,3927…   pour un million de termes

 

Harmonique

Le nom fait allusion aux harmoniques en musique. Ils sont obtenus pour des fractions 1/2, 1/3 … de la fréquence fondamentale.

 

 

La série harmonique diverge

 

Construction

On ajoute indéfiniment les fractions égyptiennes successives (numérateur toujours à un).

 

Moyenne harmonique entre 1/2 et 1/4

Chaque terme de la série est la moyenne harmonique de ses deux voisins.

 

Paradoxe

Un ver progresse sur une bande de caoutchouc qui s'étire en même temps. Est-ce que le ver arrivera au bout? Paradoxalement, jamais!

 

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150.            La vente des œufs – Énigme

 

Énigme

La fermière vend la moitié de mes œufs et un demi-œuf.

Puis la moitié de ce qui reste et un demi.

Et encore la moitié et un demi.

Elle a tout vendu sans casser d'œuf.

Combien d'œufs dans son panier en arrivant au marché?

 

Indice

Mettre sous forme de relation la vente de chaque jour et prendre en compte qua la somme des ventes est égale à la quantité d'œufs au départ.

 

 

Solution

Q = V1 + V2 + V3 Somme des trois ventes

 


 

Q = 7

 

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151.            Magie de la preuve par 9

 

Si on soustrait ses chiffres à un nombre, le résultat est toujours divisible par 9.

 

Tour de magie: prends ton âge. Soustrais les chiffres. Le résultat est 9 ou un multiple de 9 (ou 0, si tu as moins de 10 ans).
Ex: 17 ans: 17 – 1 – 7 =  9.
       23 ans: 23 – 2 – 3 = 18.

 

 

Un nombre moins ses chiffres = 9k

http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Vocabula/GlosP/Preuve_fichiers/image017.jpg

 

Si on soustrait un nombre et une de ses permutations de chiffres, la différence est divisible par 9.

 

Rappel: un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est aussi divisible par 9.
Ex: 198 => 1 + 9 + 8 = 18 => divisible par 9.

 

Table de soustraction de ces nombres permutés

(sans le signe)

 

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152.            Aire des parallélogrammes

Énigme

Un grand triangle équilatéral et deux petits identiques disposés l'un sous l'autre.

 

Que peut-on dire de l'aire des deux parallélogrammes marron?

 

Solution en image

Il suffit de retourner le petit triangle équilatéral du bas pour se rendre compte que chaque parallélogramme occupe la place d'un petit triangle équilatéral (1/4 de l'aire du grand).

 

 

Sinon

La hauteur du grand triangle est le double de celle du petit. Les côtés sont également dans un rapport 2. Les deux triangles bleus occupent la moitié de l'aire du grand. Reste une moitié pour les deux parallélogrammes identiques: soit 1/4 du grand pour chacun; la même aire que pour chaque petit triangle.

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153.            Divisibilité par 45 de aaaabbbb

 

Énigme

Quelles sont les valeurs de a et b telles que N = aaaabbbb soit divisible par 45?

 

Une des solutions

 

Divisibilité par 11

Tous les nombres en aaaabbbb sont divisibles par 11. En effet: a+a+b+b = a+a+b+b.

 

 

Solution

Notons que a et b sont des chiffres: a < 10  et b < 10.

Si N est divisible par 45, il l'est par 5 et par 9.

 

Divisible par 5, alors b = 0 ou 5.

Divisible par 9, alors 4a + 4b = 9k.

 

Si b = 0, alors 4a = 9k et a = 9 (a < 10) et N = 99990000.

Si a = 0 et b = 0, alors N = 00000000, trivial

Si a = 0 et b = 5, alors

4a + 4x5 = 9k ou 4 (p + 5) = 9k

alors p + 5 = 9 et p = 4

N = 44445555

 

Notez que ces deux nombres étant également divisibles par 11, ils le sont par: 11 x 45 = 495.

 

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154.            Volume de la pizza

Mémorisation amusante

 

Volume du cylindre de rayon Z et de hauteur A

 

 

Avec écriture amusante sur la figure.

Écriture plus conventionnelle:

 

 

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Objet3D/Cylindre_fichiers/image036.jpg

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155.            Quatre, dix, vingt, cent

Quels sont les nombres que l'on peut écrire avec ces quatre adjectifs numéraux:

QUATRE

DIX

VINGT et

CENT ?

    4 – Quatre

  10 – Dix

  20 – Vingt

  24 – Vingt-quatre

  80 – Quatre-vingts

  90 – Quatre-vingt-dix

100 – Cent

104 – Cent-quatre

110 – Cent-dix

120 – Cent-vingt

124 – Cent-vingt-quatre

180 – Cent-quatre-vingts

190 – Cent-quatre-vingt-dix

400 – Quatre-cents

410 – Quatre-cent-dix

420 – Quatre-cent-vingt

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156.            Initiation au système d'équations

 

But

Jeu proposé aux élèves de CM2 pour les amener à concevoir les équations sans les nommer.

Chaque fruit représente son prix chez l'épicier.
Ainsi: acheter trois fraises coûtera 30 centimes.

 

Énigme

En l'occurrence cette énigme est simple:

*      si 3 fraises valent 30, alors 1 fraise vaut 10.

*      avec cette information, 2 poires valent 18 moins le prix de la fraise, soit 18 – 10 = 8. Une poire vaut la moitié, soit 8 / 2 = 4.

*      Si, du prix de la poire on retire le prix du raisin, il reste 2. C'est que le raisin vaut 2

 

Solution
Fraise = 10, poire = 4; raisin = 2
Somme demandée: 10 + 4 + 2 = 16.

 

École primaire

 

Collège

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157.            Pièce qui roule

 

Énigme

Deux cercles de rayon R et 3R.

Le petit tourne sur le grand sans glissement.

Après rotation, il retrouve sa position de départ.

Combien de tours a-t-il effectué ?

 

Indice

Non ! ce n'est pas trois tours … C'est la réponse habituelle, mais elle est erronée.

 

Solution

Le cercle A effectue bien trois tours le long du chemin de roulement sur l'autre cercle (sur sa circonférence), mais en même temps, il tourne sur lui-même et effectue un tour supplémentaire.

 

Engrenages

Si les cercles étaient des engrenages montés sur des axes fixes, le petit pignon ferait trois tours pendant que le gros en exécuterait un de son côté. Un bilan de quatre tours.

 

Le cercle A roule sur le cercle B

 

Pour revenir à sa position de départ, le cercle A effectue quatre tours.

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158.            Somme de chiffres identiques

 

Théorème pour nombres quelconques

La différence entre deux nombres ayant la même somme de chiffres est divisible par 9.

 

Exemples

18 – 9 = 9

40 – 31 = 9

75 – 48 = 27 = 9 x 3

 

Les nombres 75 et 48 ont la même somme de chiffres 12. Leur différence est divisible par 9.

 

222 – 51 = 171 = 9 x 19

987 654 – 456 789 = 530 865 = 9 x 58 985

 

 

Théorème pour nombres premiers

La différence entre deux nombres premiers ayant la même somme de chiffres est un multiple de 2, de 3, de 6 et de 9.

 

Exemples

Somme 4: 13, 13 + 18 = 31, 31 + 72 = 103;

Somme 5: 5, 5 + 18 = 23, 23 + 18 = 41;

 

Les nombres premiers sont la somme des chiffres est 5 sont: 5, 23, 41, 113, 311, 401, 1013, 1031 … La différence entre eux est toujours un multiple de 2, 3, 6 et 9.

 

Somme 6: aucun premier

Somme 7: 7, 7 + 36 = 43, 43 + 18 = 61;

 

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159.            Énigme du parking

 

Quel est le numéro de la place de parking masqué par la voiture?

 

 

 

L'astuce: en se plaçant de l'autre côté, on voit cette configuration:

 

Note: Subtilement c'est le 87 qui a été caché par la voiture, car les nombres de 86 à 91 sont bien réversibles, sauf 87.

 

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