NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Atlas des maths

 

Page 8 (140-159)

Page 9 (160-179)

Page 10 (180-199)

Page 11 (200-219)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 10

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

180.            Calcul impossible? 

Montrez que:

1) Calcul habituel

Avec élévation au carré: (a – b)² = a² – 2ab + b²

Au carré

Calcul

Identité remarquable

Racine carrée

2) On aurait pu faire

En cherchant un carré sous le radical:

En remarquant que

Le calcul est immédiat

Pour en savoir plus

>>> Identités remarquables

>>> Calculs avec radicaux

>>> Nombre 2

 

 

 

181.            Théorème de la divisibilité

 

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), mathématicien et aussi physicien et astronome. Il est l’auteur de ce théorème.

 

Théorème

Si le nombre naturel a divise le produit b.c et s’il est premier avec l’un des facteurs, alors il divise l’autre.

 

 

 

 

Démonstration avec le théorème de Bézout

              Disons que a est premier avec b.

 

Brèves liées

>>>Théorème de Bézout – B161

Pour en savoir plus

>>> Divisibilité – Critères

>>> Lemme de la divisibilité

>>> Premiers entre eux

>>> Théorème de Bézout

>>> Gauss (1777-1855)

 

 

182.            Base 12

 

Nous comptons en base 10, c'est-à-dire avec dix chiffres. Et, si on comptait avec douze chiffres? L'idée s'est développée au cours des siècles. Pourquoi? Parce que 12 est divisible par 2, 3, 4, 6; alors que 10 n'est divisible que par 2 et 5.

Nos Anciens trouvaient plus commodes de pouvoir partager les choses à partir de 12 parts. Voyez comme cette idée à résisté sur nos horloges et montres. Elle résiste encore dans la vente des œufs, même si aujourd'hui on peut aussi acheter ses œufs par dix.

La base 10 à dix signes à résister sans doute parce que nous avons dix doigts. Savez-vous que 1,7 bébé sur 1000 est atteint d'hexadactylie (six doigts aux mains ou aux pieds)

 

Quantité

12 =  1 douzaine

     Promotion: 13 à la douzaine

12 x 12 = 144 = 1 grosse

 

Mesure

1 pied = 12 pouces

1 pouce = 12 points

 

Monnaies Charlemagne (vers 800)         

1 livre (libra) = 20 solidi (sous, sols ou schillings)

1 solidi =  12 denarii (deniers ou pfennigs).

 

Monnaies britannique (jusqu'en 1971)   

1 livre = 20 shillings

1 shilling =  12 pence.

 

Pour en savoir plus

>>> Nombre 12

>>> Douzaine et base 12

>>> Bases de numération

>>> Jeux avec 12

>>> Divisibilité par 12

>>> Horloges

 

 

 

183.            Nombres de Mersenne – 2n – 1

 

Définition

Un nombre de Mersenne est tout simplement une puissance de 2 moins 1.

 

Mersenne et Parfait

Lorsque le nombre de Mersenne est premier, il est la source d'un nombre parfait:
Tous les nombres parfaits pairs (les seuls connus) sont de la forme:

2n – 1  x  (2n – 1)

 

Théorèmes

Si un nombre de Mersenne est premier, alors n est premier. La réciproque n'est pas vraie.

 

Si a et n sont deux entiers (>1) et si an – 1 est premier alors a = 2 et n est premier.

 

 

 

Liste pour les premières valeurs

Mersenne premiers

En jaune les nombres premiers.

Tous les nombres de Mersenne premier sont formés avec n premier.

Un nombre n premier n'engendre pas automatiquement un Mersenne premier (cas de 11 ou 23).

 

Brèves associées

>>> Nombres parfaits

Pour en savoir plus

>>> Nombres de Mersenne

>>> Marin Mersenne (1588-1648)

>>> Nombres premiers

 

 

184.            Nombre 10 – DIX

 

Linguistique

Déca veut dire 10 fois plus et déci 10 fois moins.

Une décade vaut 10 jours et une décennie 10 ans. Attention: decade en anglais = 10 ans.

Le décan vaut 10 jours en astrologie.

Décimer: diviser par dix. Tuer neuf personnes sur dix.

 

Propriétés

http://yoda.guillaume.pagesperso-orange.fr/Dix1_fichiers/image017.jpgLe nombre 10 est pair, divisible par 2 et par 5.

Il est triangulaire et tétraédrique.
10 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + 3 + 6

Curiosité: 10 décimal = 1010 binaire (10 répété!).

En chiffres romains, 10 est noté X. Mais, DIX romain vaut 500 + 9 = 509 en décimal.

 

Multiplication et division par 10

Il suffit d'ajouter un 0 ou de décaler la virgule d'un cran vers la droite.
Ex: 12 x 10 = 120 et 12,34 x 10 = 123,4

Pour diviser par 10, on fait l'inverse.
Ex 120 / 10 = 12 et 123,4 / 10 = 12, 34

 

 

Deux mains = dix doigts

Base de la numération décimale

En écrivant 234 on sous-entend: 2 centaines + 2 dizaines + 4, soit: 2 x 100 + 3 x 10 + 4.

Chaque chiffre a un poids dix fois plus grand que son voisin juste à droite. C'est la position qui compte; et, comme il y a dix chiffres, on dit que nous comptons avec un système de numération décimale de position.

 

Curiosités

210 = 1024

J'ai dix ans

Dix ans correspondent à une vie de plus de 315 millions de secondes.

 

Brèves associées

>>> Nombre 9

>>> Compter avec 10 chiffres

>>> Nombre 11

Pour en savoir plus

>>> Nombre 10 – Culture

>>> Nombre 10 – Maths

>>> Chiffre romains

>>> Main

>>> Système décimal

>>> Pépites numériques

 

 

185.            Nombres complexes

 

Démystification!

On n'aurait pu (dû) les appeler les nombres doubles, ou doublon. En effet, il s'agit de créer une algèbre sur des couples de nombres.

On note le couple: a  + i . b

Note: Il existe des quadruplets: les quaternions.

 

Que représente le nombre i ?

Le nombre i est une création particulièrement astucieuse. Il représente aussi bien:

*      une valeur imaginaire telle que son carré vaut -1 (moins un, oui!); et également

*      un opérateur qui fait tourner de 90°.

Autrement dit, le premier nombre représente un point sur la droite classique horizontale et le second un point sur une droite verticale. Un nombre complexe définit, tout simplement, les coordonnées d'un point M du plan.

 

Intérêt

En introduisant des nombres imaginaires dont les carrés sont négatifs, toutes les équations du second degré ont une solution avec deux racines, éventuellement complexes.

Exemples

 

 

Définition

Représentation

 

Applications         

D'une manière générale, les complexes font partie de la boîte à outils des ingénieurs.

 Les électroniciens les utilisent pour décrire le comportement des circuits électroniques en régime permanent comme en régime transitoire.

Pour en savoir plus

>>> Nombres complexes

>>> Équations du second degré

>>> Coordonnées

>>> Électronique

 

 

 

186.            Carré = cube

 

Question

Est-ce qu'il beaucoup de nombres égaux à la racine carrée d'un cube?

Ou, exprimé d'une autre façon (en élevant au carré):

Réponse

Oui! Il suffit que N soit lui-même un cube.

Alors K sera évidemment un carré:

 

Exemples

 

Carré x cube = puissance 6

On retrouve la propriété énoncée en partant d'une puissance sixième.

Celle-ci est à la fois le carré d'un cube et le cube d'un carré.

Le nombre 8 est égal à la racine carrée d'un nombre cube (64 = 43).

Notez la notation fractionnaire: le deux au dénominateur veut dire racine carrée

Pour en savoir plus

>>> Carré = cube

>>> Carrés

>>> Cubes

>>> Nombre 8

>>> Racine carrée

>>> Puissance fractionnaire

 

 

187.            Nombres premiers – Algorithme

 

Algorithme

 

Commentaire

Un algorithme donne la recette des instructions à suivre, une par une, pour arriver à un résultat; ici, déterminer si le nombre p est premier ou composé.

 

Principe

Un nombre est premier s'il n'est pas divisible par un nombre plus petit que lui, et même par un nombre plus petit que sa racine carrée.

Si le diviseur dépasse la racine carrée, la division par ce nombre donne un nombre plus petit que la racine carrée. Ex: n = 80 = 10 x 8 et

 

Description de l'algorithme

Le nombre p à traiter est enregistré.

Une boucle de traitement fait progresser la variable i de la valeur 2 à la racine carrée de p.

Pour chaque valeur de i, on teste si la division de p par i est un nombre entier. Si oui, c'est que le nombre est divisible par i et alors p est composé.

Si après épuisement des boucles, on n'a pas trouvé de diviseur de p, c'est que p est premier

 

 

Programme (Maple)

 

 

On écrit un programme général, dit procédure, qui teste si le nombre n est premier; puis un programme principal qui produit la liste des nombres premiers.

Le symbole # indique que la ligne est un commentaire.

 

La procédure TP sera exécutée pour le nombre n.

Initialisation en déclarant que les variables i, imax et premier sont utilisées uniquement dans ce programme.

On donne la valeur entière de la racine carrée de n à imax et premier est positionné à vrai.

La boucle pour i de 2 à imax est lancée. Si on trouve que la partie fractionnaire (frac) de n/i est nulle, c'est que la division est exacte, sans reste. Le nombre n n'est pas premier. Et, inutile de continuer la recherche (i = imax).

On finalise en fermant la condition (fi), la boucle (od), en retournant la valeur de premier, et en signifiant que la procédure est terminée.

 

Le programme principal déclare une liste P.

On analyse tous les nombre de 2 à 100 (valeurs au choix) et, pour chacun, on teste si le nombre n est premier en appelant la procédure TP.

Si le nombre est premier, il est ajouté à la liste P. Cette instruction se lit: dans P on place une liste [  ] qui contient la liste P connue op(P) et le nombre n en plus.

Le programme terminé (od), on demande l'affichage de la liste L.

Brèves associées

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>>> Infinité de nombres premiers

>>> Premiers et cryptographie

Pour en savoir plus

>>> Crible d'Ératosthène et sa programmation

>>> Algorithme

>>> Le plus grand nombre premier connu

 

 

188.            Polygones

 

Polygone (poly =  nombreux et gonos = angles

Figure géométrique du plan composé d'une succession de segments formant une chaine fermée.

 

Polygone régulier

Ses côtés ont la même longueur (équilatéral) et ses angles ont la même mesure (équiangle).

 

Périmètre et aire

De tous les polygones à n côtés, c'est le polygone régulier à n côtés qui offre le maximum de surface.

De tous les polygones à n côtés ayant une aire donnée, c'est le polygone régulier à n côtés qui offre le périmètre minimum.

 

Convexe       Croisé       Concave

Équilatéral     Équiangle     Régulier

 

Polygones réguliers

Triangle équilatéral / Carré / Pentagone / Hexagone / Heptagone / Octogone / Décagone / Dodécagone

Polygones étoilés

 

Brèves associées

>>> Triangles et polygones

Pour en savoir plus

>>> Polygones – Index

>>> Hexagone

>>> Noms des polygones

 

 

189.            Somme de consécutifs

 

 

Énigme

Combien de billes dans chaque pot de manière à établir l'équilibre.

Chaque pot contient une bille de plus que le précédent.

 

 

 

Quelques sommes

*      4 + 5  + 6 = 7 + 8 = 15

*      9 + 10 + 11 + 12
= 13 + 14 + 15 = 42

*      16 + 17 + 18 + 19 + 20
= 21 + 22 + 23 + 24 = 90

*      25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 30
= 31 + 32 + 33 + 34 + 35 = 165

*     

*      100 + 101 + … + 110
= 111 + 112 + … + 120 = 1155

 

Avec 100, le carré de 10, il y a 10 nombres à droite et 11 à gauche, le premier à gauche étant 100.

 

Quantité de billes nécessaires pour l'équilibre

En commençant par 5 billes ou plus, la balance penchera vers la gauche et cela même en échangeant des nombres d'un plateau à l'autre. Comparez les écarts entre quantité de billes vertes et de billes violettes.

 

Théorème

La somme de k + 1 nombres successifs

à partir de k²

est égale à la somme des k suivants.

 

Exemple

 

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Pour en savoir plus

>>> Énigme des cinq pots et sommes de consécutifs

>>> Nombres consécutifs – Index

 

 

190.            Pesée des neuf billes – Énigme

Parmi trois billes visuellement identiques, une seule est légèrement plus lourde.

La retrouver en une seule pesée avec cette seule balance à plateau.

 

Principe de pesée

 

Balle lourde

Bille 1

Bille 3

Bille 2

Parmi neuf billes visuellement identiques, une seule est légèrement plus lourde.

La retrouver en deux pesées.

 

Il suffit  d'appliquer le principe de pesée deux fois:

*      une première fois à trois groupes de trois billes (G1, G2, G3)

*      une deuxième fois aux trois billes du groupe le plus lourd ou au groupe mis de côté en cas d'équilibre.

 

Notez que ce principe peut s'appliquer en cascade pour 27 billes en trois pesées ou 81 billes avec 4 pesées, etc.

 

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Pour en savoir plus

>>> Énigme de la pesée des neuf billes

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191.            Relativité

 

Avec le son

En voiture à 80 km/h, la voiture devant moi qui roule à 110 km/h, s'éloigne de moi à 30km/h.

En route à une vitesse égale à la moitié de celle du son (1 200 km/h), le son que j'émets se propage devant moi à la moitié de sa vitesse normale.

Dans ce monde, tel que l'avait bien vu Galilée et que Newton a théorisé, les vitesses objet-son se composent (s'ajoutent et se retranchent).

Un monde normal, quoi!

 

 

Avec la lumière

En route à une vitesse égale à la moitié de celle de la lumière (un million de km/h), la lumière que j'émets se propage devant moi à sa vitesse normale.

Dans ce monde à très grande vitesse, les vitesses objets-lumière ne se composent pas. On parle de monde relativiste.

En 1905, Einstein affirme: la vitesse de la lumière est une constante et rien ne peut aller plus vite.

 

Masse

Einstein, via sa célèbre formule E = mc², indique  que l'énergie et la masse sont la même entité physique sous deux formes différentes: l'une peut être changée en l'autre – Principe d'équivalence.

 

Masse en mouvement

Un objet en mouvement possède sa masse propre plus une masse due à l'énergie cinétique (l'énergie du mouvement)

Alors, plus un objet va vite, plus il est "lourd".

*      avec v = 0,1c, la masse augmente de 0,5%,

*      avec v = 0,9c, la masse double, et

*      avec v = c, la masse devrait être infinie.

 

 

Effet à très grande vitesse

À la vitesse de la lumière (ou presque):

*      augmentation de la masse.

*      dilation du temps: le temps ralentit. À 0,9 c, le temps s'écoulera à la moitié de la vitesse normale. La montre marquera 10 min pour une réalité de 20 min observée par un observateur resté sur Terre.

*      aberration spatiale: l'espace est rétréci; le champ de vision devant vous deviendra une "petite fenêtre". Les photons de toutes parts se dirigent vers vous.

*      Doppler: la lumière des étoiles en face de vous se rassemblent et les objets deviennent bleus. Ceux de derrière s'étalent et deviennent rouges. Phénomène qui s'amplifie avec la croissance de la vitesse  en décalant les longueurs d'onde en dehors du spectre visible. Les objets deviennent invisibles.

Pour en savoir plus

>>> Relativité de Galilée

>>> Relativité d'Einstein

>>> Vitesse du son (330 m/s)

>>> Masse

>>> Galilée – Biographie

>>> Einstein – Biographie

>>> Célérité de la lumière (300 000 km/s)

>>> Spectre visible

 

 

192.            Calculatrice – Outils de calcul

 

La calculatrice de votre ordinateur

Elle effectue tous les calculs en présentant un résultat sur 32 chiffres. Le tableur Excel n'en offre que 15. Un logiciel de calcul (Maple ou Maxima) en offre davantage

 

Accès à la calculatrice de votre ordinateur

Taper calculatrice dans la fenêtre en bas à gauche de l'écran.

Ou alors, cliquez la fenêtre à quatre carreaux et chercher calculatrice parmi les programmes listés.

 

Petites choses à savoir

Mette la calculatrice en mode scientifique (cliquez en haut à gauche).

Mettre les angles en degrés ou radians en cliquant sur la touche DEG.

La touche sert à effacer les chiffres lors de la saisie.

 

Extension des fonctions

On dispose de deux rangées de fonctions que l'on peut basculer pour obtenir (généralement) les fonctions inverses. Cliquez sur la touche flèche ver les haut.

 

Exponentielles

L'exponentielle est obtenue avec la touche ex et non pas la touche EXP (exposant) qui permet de spécifier un exposant (une puissance) à un nombre.

 

Pour en savoir plus

>>> Calculatrice

 

 

193.            Premiers résistants

 

357 686 312 646 216 567 629 137 = 3,5… 1023

 

Ce nombre premier de 24 chiffres est remarquable. Si on lui retire le dernier chiffre à gauche, il est encore premier.

En fait, il reste premier à chaque fois qu'un chiffre à gauche est effacé.

 

Il existe exactement 260 nombres premiers résistants par la gauche et 83 par la droite.

Le plus grand premier résistant à droite: 73 939 133.

Il existe 15 nombres qui sont résistants à la fois à droite et à gauche, dont le plus grand: 739 397

 

 

Exemple de nombres premiers résistants par la gauche

(à l'exception du 1 final, mais notable du fait de la présence des 3)

33 333 331

3 333 331

333 331

33 331

3 331

 331

31

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>>> Nombres premiers

>>> Nombre en 1023

 

 

194.            Suite de carrés de nombres consécutifs

 

Belle suite d'égalités entre carrés de nombres consécutifs. Elle se prolonge à l'infini.

Le nombre central (4, 12, 24 ou 40) est flanqué d'autant de termes de chaque côté.

Avec k termes de part et d'autre du central, le nombre central est:
C = 2k (k + 1).
Avec k = 4, on a C = 2 x 4 x 5 =  40.

 

 

Le triplet de Pythagore le plus célèbre (3² + 4² = 5²), peut être prolongé indéfiniment par des sommes du même type mais avec plus de termes.

 

http://villemin.gerard.free.fr/Magie/pepite_fichiers/image060.jpg

 

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>>> Triplets de Pythagore

 

 

 

195.            Triplets doublement carré

 

     a + b  = c²

et a² + b² = d²

 

Triplet de Pythagore dont la somme des deux termes est aussi un carré.

Le plus petit cas et, en plus, c'est un double motif.

Il existe 19 tels motifs pour a et b jusqu'à 1000. En majorité, ils sont doubles comme pour 49.

 

 

Plus petit exemple

9  + 40  =    =     49

9² + 40² = 41² = 1 681

 

Mise en évidence du double motif pour 49

49 = 7² = 9 + 40

           et 9² + 40² = 41² = 1 681

49 = 7² = 21 + 28

           et 21² + 28² = 35² = 1 225

 

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>>> Carrés des nombres

 

 

196.            Somme des entiers – Démonstration

 

La  formule donnant la somme des nombres entiers de 1 à n est bien connue: S = ½ n (n + 1). Il est facile de calculer la somme comme l'a fait le jeune Gauss. Mais comment démontrer cette formule? Voici une méthode algébrique astucieuse utilisant un polynôme générateur.

 

S = 1 + 2 + 3 + … + n

 

On tente un polynôme générateur  en n², un de degré de plus que dans la somme.

 

S = A + B.n + C.n²

Pour n

Pour (n + 1)

Sn   = 1 + 2 + … + n

Sn+1 = 1 + 2 + … + n + (n+1)

Sn    = A + B.n + C.n²

Sn+1 = A + B(n+1) + C(n+1)²

       = A + B.n + B + C.n² + 2C.n + C

Différence

Comparaison

D = 1 + n

Coefficient de n:

Partie constante:

D = B + C + 2C.n

1 = 2C        => C = 1/2

1 = B + C   =>  B = 1/2

Remplacement

Sn = A + Bn + Cn²

Sn = A + ½ n + ½ n²

Valeur de A

Pour n = 1 => S1 = 1

S1 = A + ½  + ½  = 1  => A = 0

Formule finale

 

Vérification

S4   = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

Sn = ½  4 (4 + 1) = ½ 20 = 10

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Pour en savoir plus

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