NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Page 9 (160-179)

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Page 12 (220-239)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 11

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

200.            Équations diophantiennes

Diophante d’Alexandrie cherchait à résoudre des équations à plusieurs inconnues entières.

 

Voir les développements sur le théorème de Bézout.

 

Exemples

25x + 18y = 1 a pour solution :

x = –5 + 18h  et  y = 7 + 25k

 

17x + 5y = 4 a pour solution :

x = 1 + 5h  et  y = –3 + 17k

 

28x + 48y = 1 n’a pas de solution car 28 et 48 ne sont pas premiers entres eux.

 

Avec un degré supérieur
(exemples)

x² + xy + y² = 19      a 12 solutions comme x = 2 et y = 3

x² + y²  = z²     a une infinité de solutions (triplets de Pythagore).

x² + y²  = p      a au moins une solution pour p = 4k + 1.

x² + y² + z² + t² = n   a au moins une solution pour tout n.

x3 + y3  = z3              n’a aucune solution.

Brèves liées

>>>  Théorème de Bézout – B161  

>>>  Triplets de Pythagore – B25

Pour en savoir plus

>>> Équations

>>> Équations diophantiennes

>>> Nombres entiers

>>> Diophante (vers 250 de notre ère)

 

 

201.            Divisibilité par 5 et modulo

Démontrer que si n est à égal 0 ou 5 mod 10
alors n est divisible par 5.

On se souvient que, par exemple:
73
 3 mod 10 veut dire:

C'est une manière d'écrire la division euclidienne en ignorant le quotient (ici 7 = k).

73 = 10 x 7 + 3

73 = 10 x k + 3

 

n égal 0 mod 10 est un raccourci pour dire:

n égal 5 mod 10 est un raccourci pour dire:

n = 10k        = 5 x 2k

n = 10k + 5 = 5 (2k + 1)

Que l'on soit dans le premier cas ou le second:

n est divisible par 5

Finalement notre énoncé savant voulait tout simplement dire

qu'un nombre est divisible par 5 s'il est terminé par 0 ou par 5.

Brèves associées

>>> Arithmétique

Pour en savoir plus

>>> Arithmétique modulaire (mod)

>>> Exemples d'applications

>>> Divisibilité par 5

>>> Division euclidienne

 

 

 

202.            Toutes les combinaisons = 2k

 

Exemple avec quatre éléments: A, B, C et D

On cherche combien de combinaisons on peut former si on peut prendre 0, 1, 2, 3 ou 4 éléments à la fois, sans ordre.

*       0 parmi 4   1 cas

*       1 parmi 4   4 cas: A, B ,C, D

*       2 parmi 4   6 cas: AB, AC, AD, BC, BD, CD

*       3 parmi 4   4 cas: ABC, ABD, ACD, BCD

*       4 parmi 4   1 cas

 

Total: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24

 

Coefficients

Vous avez sans doute reconnu la quatrième ligne du triangle de Pascal.

 Ces coefficients sont calculés en utilisant cette formule, par exemple pour 2 parmi 4:

 

 

Cas général avec k éléments

La généralisation de 4 éléments à k éléments est possible. Si bien que:

 

La somme des combinaisons à partir de k éléments est égale à 2k.

 

 

Démonstration express

 La formule générale du développement du binôme est la suivante:

Avec a = b = 1

 

Brèves liées

>>> Triangle de Pascal

Pour en savoir plus

>>> Somme des combinaisons

>>> Coefficients du binôme

 

 

203.            Nombre de Fermat

 

Fermat a inventé une race de nombres en puissance de 2 plus 1 dont les premiers exemplaires sont des nombres premiers.

 

Exemple: 28 + 1  = 257 avec 8 = 23. Effectivement l'exposant est lui-même une puissance 2.

 

Nombres de Fermat

Ils sont donc de la forme:

 

Les plus petits: 3, 5, 17, 257, 65537 et ces cinq nombre de Fermat sont premiers

 

Curiosités

À partir de 17, ils se terminent tous par 7.
Aucun n'est un carré, ni cube.

Un nombre de Fermat plus 1 est divisible par 6.

 

Historique

En 1640, Fermat croit avoir découvert une race de nombres dont tous seraient premiers. Il en fait part à Mersenne et à Pascal.

En 1732, Euler trouve que le cinquième nombre de Fermat est composé:

F5 = 4 294 967 297 = 641 x 6 700417

 Depuis, on n'a pas trouvé d'autres nombres premiers de Fermat que les cinq plus petits.

 

Amateurs de nombres …

Avec les ordinateurs, la chasse aux nombre de Fermat est ouverte:

*       Les nombres de F5  à F32 sont composés. Au moins un des facteurs est connu sauf pour F20 et F24

*       On ne sait rien de F33 comme F34

*       En 2017, le plus grand dont on connait un facteur est F3 329 780

 

Brèves liées

>>> Nombres de Mersenne

Pour en savoir plus

>>> Nombres de Fermat

>>> Nombres premiers

>>> Puissances de 2

>>> Fermat (1607-1665)

 

 

204.            Isaac Newton (1642-1727) – 85 ans

 

Biographie

Isaac Newton: philosophe, mathématicien physicien et astronome anglais.

Très intelligent, Newton commence les études supérieures en 1661 (18 ans) au Trinity College de Cambridge.

En 1665, il s'exile chez sa mère durant un an et demi car l'épidémie de Peste décime la population de Londres. Durant ce séjour, lui vient l'idée qu'il y a une relation entre la chute d'un corps sur la Terre et le mouvement de la Lune (légende de la chute de la pomme).

En 1669, il devient titulaire de la chaire de Lucas (comme Stephen Hawking le sera en 1979).

En 1671, il construit le télescope, une invention qui porte son nom. Son importance reconnue lui vaut d'intégrer la Royal Society.

Après la publication de son livre (1687), il devient célèbre. Il est le président de la Royal Society. Il est anobli  et devient sir Isaac Newton.

 

Les trois lois de Newton

1) Principe d’inertie

Tout corps reste dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins qu'une force le contraigne à changer d’état.

2) Principe fondamental de la dynamique

Les changements sont proportionnels à la force motrice, et dans la direction de la force.

3) Actions réciproques

L’action est toujours égale à la réaction.

 

 

Contributions de Newton

En 1687, il publie "Principes mathématiques de la philosophie naturelle".

Il réalise une synthèse à la fois des lois de Kepler sur les orbites planétaires et de Galilée sur la chute des corps.

Il y expose le principe d'inertie, l'égalité de l'action et de la réaction, les lois du choc, la proportionnalité des forces et des accélérations.

Mais surtout, il y parle de sa théorie de l'attraction universelle: les corps s'attirent avec une force proportionnelle au produit de leur masse et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

En 1704, il rédige Opticks où il explique que la lumière est en fait constituée d'un spectre de plusieurs couleurs. Il y traite de la réfraction. Une des plus grande œuvre scientifique de l'histoire

 

La première loi en amusements

Un enfant reste au repos jusqu'à ce vous lui retiriez la tablette

Tout corps au repos restera au repos, sauf si sa femme le remarque et lui trouve un boulot à faire.

Au lieu d'une pomme, si Newton avait glissé sur une peau de banane, les lois du monde auraient été différentes.

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Pour en savoir plus

>>> Newton – Biographie

>>> Newton – Lois

>>> Réfraction

>>> Kepler

>>> Humour

 

205.            Nombre 11 – ONZE

 

Propriétés

Le nombre 11 est premier. Le plus petit nombre uniforme ou repunit.

 

Multiplication par 11

En partant de la droite ajouter chaque chiffre avec celui de gauche et recomposer le nombre en tenant compte des retenues.

 

Curiosités

11 = 6 + 5 = 6² – 5²

1 / 11 = 0,09 09 09 …

Jeux de mots

Pie XI était un pape fatigué.

Onze la coule douce

Onze fait chier

 

Curiosités avec les mêmes chiffres

 

Divisibilité par 11

On fait la somme des chiffres de rang impair et celle de rang pair. Une égalité indique que le nombre est divisible par 11.

Un nombre palindrome ayant une quantité paire de chiffre est divisible par 11.
Ex: 123321 = 11 x 11211

 

Puissance de 11

Les puissances de 11 sont des nombres palindromes et surtout, ce sont les lignes du triangle de Pascal.

 

Brèves associées

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>>> Triangle de Pascal

>>> Nombre 12

Pour en savoir plus

>>> Nombre 11 – Culture

>>> Nombre 11 – Maths

>>> Multiplication par 11

>>> Divisibilité par 11

>>> Repunits

>>> Palindromes

 

 

206.            Cercle dans le losange

 

Problème

Un triangle isocèle dont la base mesure 16 et la hauteur 15. Un demi-cercle inscrit comme indiqué sur la figure.

Quel est le rayon de ce demi-cercle?

 

Note: cette figure dupliquée vers le bas (symétrie par rapport à AB) forme un losange avec son cercle inscrit. 

 

Remarques

Le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ACH indique:

     AC² = AH² + HC²

                  = 8² + 15² = 64 + 225 = 289
     AC =  a = 17

   

 

Calcul n°1

Deux évaluations de l'aire du triangle rectangle ACH

 

 

Calcul n°2

Deux évaluations du sinus de l'angle en A

 

Brèves associées

>>> Triangle rectangle

>>> Trigonométrie

Pour en savoir plus

>>> Demi-cercle dans le triangle isocèle

>>> Triangle isocèle

>>>  Cercle inscrit

>>> Théorème de Pythagore

>>> Sinus

 

 

207.            Billard d'Alhazen

 

Problème

Trouvez un triangle isocèle inscrit dans un cercle et passant par les deux points donnés A et B.  Déterminez le point M.

 

Solution

Il faut résoudre une équation du quatrième degré.

La solution est non constructible avec règle et compas car elle nécessite l'extraction d'une racine cubique.

 

Historique

Problème formulé par Ptolémée en 150.

Alhazen, vers l'an 1000, trouve une solution géométrique à base de coniques.

Vers 1500, Leonard de Vinci invente un système articulé.

La solution algébrique est trouvée par Peter Neumann en 1997.

 

 

Triangle isocèle inscrit passant par A et B

Problème équivalent

Un billard circulaire et deux billes A et B placées en deux points quelconques. La bille A doit rebondir une fois et atteindre la boule B. Où se trouve le point de rebond?

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>>> Brève précédente

Pour en savoir plus

>>> Problème du billard d'Alhazen

>>> Équation du quatrième degré

>>> Coniques

>>> Constructible

>>> Racine cubique

 

 

208.            Nombre 2 018

 

Écriture

Français: Deux-mille-dix-huit

Anglais: Two thousand eighteen

Allemand: Zweitausend und achtzehn

 

Identité

2 018 = 2 x 1009

Diviseurs: 1, 2, 1 009, 2 018; somme: 3 030

Nombre déficient (3 030 – 2 018 = 1 012 < 2 018

2018 = 220 220 2 en base 3 (ternaire)

 

Somme de nombres consécutifs

2 018 = 503 + 504 + 505 + 506

 

Somme de carrés consécutifs

2 018 = 7² + 8² + 9² + …17² + 18²

 

 

Somme de deux carrés

2 018 = 2 x 1009 = 2 x (4 x 252 + 1)

Nombre qui n'a pas de diviseur en 4k + 3 (ou qui a un tel facteur à la puissance 0) => il est somme de deux carrés.

Nombre qui n'a qu'un seul facteur en 4k + 1 => sa somme en deux carrés est unique.

 

Somme de puissances 4

Seule possibilité. Remarquez que le 4 manquant au centre  est en puissance.

 

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209.            Nombres premiers et cryptographie

 

Problème
Trouver deux nombres entiers a et b, tels que leur produit soit égal à un nombre donne n.

C'est le problème dit de la factorisation en nombres premiers.

 

Indice pour le quizz: n'oubliez pas le test de divisibilité par 9 !

 

 

Exemples

 

3, 7 et 37 sont des nombres premiers

 

Quizz

Sauriez-vous trouver un des facteurs de ce nombre: n = 123 456 789 ?

 

 

La factorisation n'et pas toujours aussi simple, surtout si les nombres deviennent grands.

 

À partir d'une certaine taille, il est impossible de trouver les facteurs, même avec tous les ordinateurs les plus puissants.

 

Cette impossibilité est le point de base de l'algorithme de cryptographie RSA utilisé pour les transactions bancaires ou pour assurer la confidentialité sur certains réseaux sociaux.

 

 

 

Exemples

 

Ces nombres de 7 chiffres et de 11 chiffres sont le produit unique de deux nombres premiers.

Trouver a et b sans calculette est un peu difficile, mais faisable. C'est immédiat avec un ordinateur.

 

Exemple avec Maple

Le code RSA utilise au moins 2 048 bits, ce qui correspond à 617 chiffres (log10 de 22048)

 

Facebook ou Gmail utilisent la cryptographie ECC qui n'est pas basée sur la factorisation.

 

Record de factorisation

- 155 chiffres en 2009 par Benjamin Moody: 73 jours de calculs.

- 232 chiffres la même année: deux ans de calculs. Le plus grand nombre factorisé à ce jour (2017).

 

Solution du quizz

123 456 789 = 9 x 3 803 x 3 607

Oui, il est divisible par 9.

 

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Pour en savoir plus

>>> Cryptographie RSA

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210.            Nombre 153 & Cycle-Cube

 

Procédé itératif du cycle-cube

Prenons le nombre 3. Son cube: 33 = 27. La somme des cubes des chiffres: 351. Encore, la somme des cubes: 153.

Le nombre 153 marque la fin du procédé.

 

Propriété des multiples de 3

Avec tous les multiples de 3, le procédé finit toujours par 153. La longueur du cycle est la seule particularité (L = 3 pour le nombre n = 3).

 

Records (n / L)

(3 / 3), (6, 10), (117, 11), (177, 13), (12 558, 14).

Le cycle ne dépasse par L = 14 itérations avec n = 12 558, et cela jusqu'à trois millions.

 

Cycle-cube pour le nombre 3

 

Avec le nombre 6, il faut 10 itérations pour finir sur le nombre 153:

 [216, 225, 141, 66, 432, 99, 1458, 702, 351, 153]

 

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211.            TABLEUR – Outils de calcul

 

Accès au tableur de votre ordinateur

Taper Excel dans la fenêtre en bas à gauche de l'écran.

Ou alors, cliquez la fenêtre à quatre carreaux et chercher Excel parmi les programmes listés.

 

Effectuer une opération

Tapez simplement l'opération précédée du signe = dans la cellule désirée. Appuyez sur Entrée et le résultat s'affiche dans la cellule.

En cliquant sur la cellule, la mémoire de l'opération est affichée dans la fenêtre d'édition, à côté du fx. Vous pouvez corriger l'opération dans cette fenêtre.

 

Opération à partir de données existantes

Suite des opérations:

*      cliquez la cellule résultat.

*      tapez =

*      désignez la cellule du 10 à l'aide de la souris

*      tapez le signe +

*      désignez la cellule du 12, avec la souris

*      appuyez sur la touche entrée.

 

Mise à jour des calculs

Désormais, si vous remplacez 10 ou le 12 par une autre valeur, le calcul est mis à jour automatiquement.

 

Constitution d'une table d'addition

Formation de la ligne du haut

Saisir 1 et 2 dans les cellules et, en les désignant toutes les deux (balayage souris pendant que le clic gauche est enfoncé), remarquez la poignée en bas à droite.

Tirez cette poignée jusqu'à 10. (clic gauche enfoncé en déplaçant cette poignée avec la souris. Les nombres suivants sont placés automatiquement

Formation de la ligne verticale

Même opération: après saisie du 1 et du 2, tirez la poignée vers le bas.

Addition relative

Nous savons introduire l'adition de 1 + 1 qui en fait est l'addition de la cellule B1 avec la cellule A2.

En ajoutant le symbole $ nous indiquons que la ligne 1 est fixe, de même que la colonne A.

Mettre le symbole * au lieu de  + pour faire la table de multiplication.

Table d'addition complète

Désignez la cellule et tirez la poignée vers le bas. Désignez la colonne et tirez la poignée vers la droite. La table est finie.

 

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Pour en savoir plus

>>> Tableur – Index

>>>  Autres outils

>>> Addition

 

 

212.            Longueur d'un nombre

 

Quantité de chiffres d'un nombre

Le logarithme décimal d'un nombre indique la longueur du nombre.

 

Plus précisément: la quantité de chiffres dans un nombre entier est égale à la valeur plafond du logarithme décimal du nombre.

 

 

Tableur

Programmation (ceiling = plafond en anglais)

Autre possibilité si le logiciel convertit les nombres en base 10 ("nops" donne la quantité d'éléments):

 

 

Exemples de calculs

Le logarithme de 50 est 1,69…

Le nombre immédiatement supérieur est 7 qui représente la quantité de chiffres dans le nombre 50.

 

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213.            Origine du X pour l'inconnue

 

Diophante, mathématicien du IIIe siècle, nommait l'inconnue arithmos, le nombre.

 

Al-Khawarizmi, au IXe siècle, l'appelle SHAY, la chose. De AL-SHALAN, la chose inconnue.

 

Les Andalous, alors sous influence arabe, transcrivent en latin: XAY. Le SH pour le son CK n'existait pas. Le plus proche est le khi grec, écrit X. On parle aussi de SHEI converti en XEI. Même origine que le CHOUÏA, connu en français.

 

 

René Descartes, au XVIIe siècle, ne conserve que l'initiale. En fait, nul ne sait d'où il tire cette lettre X. Ce dont on est sûr c'est qu'il est bien à l'origine de sa popularité. Il utilise les lettres minuscules du début de l'alphabet pour les quantités connues et celles de la fin pour les inconnues. Ces notations apparaissent dans ses manuscrits dès 1629. Il introduit également la notation des puissances comme x3.

Une histoire raconte que le linotypiste de Descartes lui aurait demandé de choisir x, car c'est une lettre peut employée, et donc plus disponible dans ses casiers de caractères.

Il est tout à fait possible que Descartes ait fait lui-même un choix dans l'alphabet.

 

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>>> Al-Khawarizmi

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214.            Multiplication par 111

 

On sait facilement multiplier par 11: 123 x 11 = 1353. On garde les nombres extrêmes (1 et 3) et au milieu, on effectue l'addition des chiffres deux à deux (1+2 = 3 et 2+3 = 5. On tient compte des retenues éventuelles.

 

La multiplication par 111 (1 111, 11 111, etc.) se prête à l'opération à trous indiquée. Pour retrouver le multiplicateur (cdu: centaines, dizaines et unités), il suffit de connaitre les trois derniers chiffres du résultat (CDU).

Cette opération à trous peut être organisée en tour de magie.

 

 

Unité

L'unité u est conservée: u = U = 9

Dizaine

La dizaine d est le nombre qui ajouté à u donne D: d = D – u = 5 – 9. La différence est négative. On se souvient du mécanisme des retenues. Il suffit d'ajouter une dizaine pour obtenir un nombre positif: 15 – 9 = 6.

Centaine

La centaine c est telle que : C = c + d + u, aux retenues près.

Or, la retenue provenant du calcul des dizaines est celle provenant de d + u = 15, soit 1.

Soit, le calcul: c = C – d – u – r = 9 – 6 – 9 – 1. Avec des dizaines suffisantes pour que la différence soit un chiffre positif.

On calcule alors: c = 19 – 6 – 9 – 1 = 3   

Bilan

L'opération est donc: 111 x 369 = 40 959

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215.            La fourmi sur le cube

 

Cube

Sur de cube de 4 cm de côté une fourmi se déplace de E à C en passant par le point M. Quelle est la position du point M que va viser la fourmi pour minimiser son trajet ?

 

Trajet

Avec le théorème de Pythagore

 

Point M

Les trajets sur chacun des deux carrés successifs doivent se ressembler. Si la fourmi fait le trajet à contresens, elle visera un point identique à celui qu'elle à visé sur son trajet aller.

Le point M se trouve au milieu de BF. Avec x = 2, l'expression de la longueur est bien symétrique:

 

Trajet de la fourmi représenté sur le patron du cube

Cube et trajet de la fourmi

 

 

Graphe de la fonction EMC

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216.            Cent en neuf chiffres

 

Jeu qui consiste à utiliser toute les chiffres, dans l'ordre autant que possible, et atteindre le nombre 100 en utilisant les quatre opérations.

 

Ou, en utilisant des fractions.

 

Beaucoup d'autres possibilités.
À vous de jouer ou alors rendez-vous sur la page indiquée en lien.

100 = 1 + (2x3) + (4x5) – 6 + 7 + (8x9)

100 = 1 + 2 + 3 – 4 + 5 + 6 + 78 + 9

100 = 9 – 8 + 7 + 65 – 4 + 32 – 1

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217.            Courbes elliptiques

 

Définition

La courbe est définie par une fonction du type (équation de Weierstrass).

y2 = x3 + Ax + B

Notez: pas de x²

Propriété

Il se trouve (et on peut le démontrer) que: une droite sécante passant par deux points de la courbe (P et Q) recoupe la courbe en un troisième point R (distinct ou non).

 

Addition

L'addition est définie de sorte que les propriétés de l'addition soient réunies:

On choisit le point S, symétrique de R (de même abscisse, mais d'ordonnée opposée).

La figure montre la construction qui est ainsi très simple.

 

 

Exemple de courbe elliptique et

Principe de l'addition de deux points

 

Courbe y2 = x3 – 5x + 8

Pour en savoir plus

>>> Courbes elliptiques

>>> Rang des courbes elliptqiues

 

218.            Logarithmes

 

Approche

Un mot bizarre pour qualifier une notion pas si difficile à comprendre:

En écrivant:  1 000 000  = 106 je fais des logarithmes. En effet, le nombre 6 est le logarithme de un million.

1 000 000 = 106 et 6 = log (1 000 000)

100 000 = 105 et 5 = log (100 000)

 

Extension

Et 5,5, par exemple, c'est le logarithme de quel nombre? Nous y voilà! Les mathématiciens ont créé une manière de répondre à cette question

5,5 = log (316 227,7660)

5,6986… = log (500 000)

 

Intérêt

C'est une manière de manipule de grands nombres représentés par de petits nombres.

Mais surtout, l'addition de logarithmes équivaut à la multiplication des nombres.

Ex : 106 x 105  = 1011 et en log 6 + 5 = 11

Pratique pour des multiplications compliquées. Exemple simple:

123 x 456 => 2,09 + 2,658

                             = 4,748 => 56 088

 

Quantité de chiffres dans un nombre

 

Ex: n = 123456; log(n) = 5,09

sa valeur plafond : 6 => n a 6 chiffres

Pour en savoir plus

>>> Logarithmes

>>> Quantité de chiffres

 

 

219.            Magie – Nombre deviné

 

Question

Pensez à un nombre n inférieur à 60 et donnez-moi simplement le reste de la division par 3, par 4 et par 5, disons a, b et c.

 

Je devine le nombre

Je calcule secrètement:

S = 40a + 45b + 36c

Le nombre n est égal au reste de la division de S par P = 60 = 3 x 4 x 5.

 

Exemple

Si n = 57, alors: a = 0, b = 1 et c = 2.

S = 40x0 + 45x1 + 36x2

    = 117 = 1 x 60 + 57

 

Calcul des coefficients

60 = 3 x 4 x 5 le produit des trois diviseurs

40 est le plus petit multiple de 4 x 5 tel que, diminué de 1, il est divisible par 3.

45 est le plus petit multiple de 3 x 5 tel que, diminué de 1, il est divisible par 4.

36 est le plus petit multiple de 3 x 4 tel que, diminué de 1, il est divisible par 5.

 

Avec quatre nombres

P = 3 x 4 x 5 x 7 = 420, alors: S = 280a + 105b+ 336c + 120d

 

D'après Bachet de Méziriac

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