NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Page 10 (180-199)

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Page 12 (220-239)

Page 13 (240-259)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 12

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

220.            Boules de couleurs

 

2 boules de 2 couleurs

Nous disposons de 2 boules de 2 couleurs. Combien de possibilités, sachant que les boules peuvent être de la même couleur?

Elles sont toutes les deux de la même couleur ou alors de couleurs différentes. Soit 4 possibilités

 

3 boules de 2 couleurs

Dans ce cas, la première boules peut être verte ou rouge, avec à chaque fois toutes les possibilités avec deux couleurs. Soit 2 x 4 = 8 possibilités

 

5 boules de 3 couleurs

La table de droite, pour n = 5 et  k =3, indique que la quantité de possibilité de colorer 5 boules de 3 couleurs est 35 = 243

 

 

Dénombrement

Chaque boule est susceptible de prendre l'une des deux couleurs: 2 fois pour la première; 2 fois pour la deuxième et 2 fois pour la troisième. Au total: 2 x 2 x 2 = 23 = 8 possibilités.

 

Cas  général

Aves k couleurs, il y a k possibilités pour chaque boule. Avec n boules, il y a kn possibilités.

 

Table des possibilités

Pour en savoir plus

>>> Boules et couleurs

>>> Dénombrement – Débutants

>>> Dénombrement – Index

 

 

 

221.            Nombre 12 – Douze

 

Identité: 12 = 2² x 3

       Diviseurs: 1, 2, 3, 4, 6, 12; Somme: 28

C'est un nombre abondant car 28 – 12  = 14 > 12. C'est le plus petit.

12, c'est une douzaine;

12 x 12 = 12² = 144, c'est une grosse.

 

Propriétés

Le nombre 12 est pair.

Sa quantité de diviseurs explique son adoption pour compter et partager (shilling = 12 pences) comme pour les heures ou pour le commerce (œufs).

 

Curiosités

12 = 3 + 4 + 5 et 6 + 7 + 8 = 21 (son retourné).

12 = 1! x 2! x 3!

400 / 33 = 12,121212…

12² = 144 et  441 = 21²

Biologie

Les personnes atteintes d'hexadactylie sont plus nombreuses que ce que l'on croit: ils ont 2x6 doigts aux mains.

 

Poésie:   alexandrin = vers à douze pied.

Ex: On a souvent besoin d'un plus petit que soi.

 

 

Géométrie

Un polygone à 12 côtés est un dodécagone.

Un polyèdre à 12 faces est un dodécaèdre.

Un cube comporte 12 arêtes.

 

Pentaminos

Il existe 12 manières différentes d'assembler cinq carrés et former les pentaminos.

 

Horloge

La journée compte deux fois 12  heures, soit deux tours d'horloge pour la petite aiguille. Un jour = 1 440 minutes = 10 x 12².

 

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>>> Horloge

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>>> Pentaminos

 

 

222.            Le duo Babbage / Ada

Charles Babbage (1791-1871)

Ada Lovelace (1815-1852)

 

Premier ordinateur du monde

 

Machine analytique de Babbage
La machine comprend déjà une partie arithmétique et logique, un contrôle par boucles, des branchements conditionnels. Cet ensemble mécanique devait être actionné par un moteur à vapeur. Babbage ne l'a jamais réalisée faute de financements.

 

Caractéristiques

Elle fonctionne en base 10 (pignons dentés à 10 positions); précision à 40 décimales; une mémoire (magasin) de 1000 nombres de 50 chiffres. Elle est pilotée (programmée) à l'aide de cartes perforées.

Son fils fera la démonstration de son véritable fonctionnement. Elle sera effectivement construite en 1991 et fonctionnera comme prévu.

 

Premier programme informatique au monde

 

Ce programme est destiné à fonctionner sur une machine. C'est un algorithme de calcul des nombres de Bernoulli, développé par Ada.

 

Femme mathématicienne et informaticienne

Malgré sa santé fragile, elle étudie et développe les mathématiques avec Mary Somerville et Auguste De Morgan.

Elle est passionnée par les travaux de Babbage qu'elle rencontre à 17 ans. En 1943, à 27 ans, elle publie un mémoire exceptionnel montrant tous les usages de telles machines, au-delà du simple calcul numérique.

 

Pour en savoir plus

>>> Charles Babbage

>>> Ada Lovelace

>>> Ordinateur – Fonctionnement

>>> Nombres de Bernoulli

 

 

223.            Triangles magiques

 

 

Consignes

Comment disposer les nombres de 1 à 6 de sorte que la somme sur chaque côté du triangle soit identique.

 

Solutions

Il existe seulement quatre solutions de base  et toutes les rotations et réflexions possibles.

Remarquez qu'en ajoutant les nombres de gauche à ceux de droite, en même position, on obtient toujours 7.

 

Sommes magiques

En ajoutant les trois sommes: 3S = tous les nombres de 1 à 6 (= 21) plus les sommets (qui comptent double).

Au minimum, les sommets valent 1, 2 et 3 et la somme devient: 21 + 1 + 2 + 3 = 27 pour 3S. Soit: Smin = 27 / 3 = 9

Au maximum, les sommets valent 3, 4 et 5 et la somme devient: 21 + 4 + 5 + 6 = 36 pour 3S. Soit: Smax = 36 / 3 = 12.

 

Les quatre seules solutions

 

 

 

Trouver les solutions

Le calcul montre que seules ces quatre sommes magiques 9, 10, 11 et 12 sont possibles.

Avec ces sommes magiques et  si peu de nombres à placer, il est facile de trouver les arrangements qui conviennent.

Ce sont les partitions de la somme magique, comme 9, avec trois nombres différents parmi 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Il n'y a que trois possibilités:
9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 2 + 3 + 4.

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224.            Cercles et triangles équilatéraux

 

La figure

Deux cercles et deux triangles équilatéraux construits sur les cordes de la manière indiquée.

Propriété remarquable quelle que soit la position du point M:

P est toujours sur MN.

 

Démonstration

Angles B et C = 60° dans les triangles équilatéraux.

Angle A + B = 90° avec le triangle inscrit ayant un diamètre pour hypoténuse.

 

Angle A, avec MN pour côté: 90 – 60 = 30°

Angle A', avec MP pour côté: 1/2 de C = 30°, car ils interceptent le même arc.

Les angles A et A' sont égaux.

 

Conclusion, MP et MN ont la même orientation, les points M, P et N sont alignés. Le sommet P du petit triangle est situé sur un des côtés du grand triangle.

 

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Auteur de cette trouvaille: Jean-Louis Breuil

 

225.            Partitions des entiers avec 1 et 2

 

Ce tableau présente les compositions des nombres de 1 à 6: partitions avec autorisation des permutations.

On se limite aux additions avec les nombres 1 et 2 exclusivement.

 

Voyez la construction:

1.   Recopiez la composition précédente et ajoutez 1;

2.   Recopiez la composition d'avant et ajoutez 2.

 

Lecture. colonne du 3, par exemple: 3 = 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 1 + 2

 

Pour le nombre 6:

On retrouve toutes les compositions du 5 en ajoutant 1. Facile!

Ensuite, pami toutes ces nouvelles combinaisons, il est possible de remplacer les deux 1 finaux par un seul 2. Or, c'est la même quantité que pour le 4 à laquelle on a ajouté 1 pour faire le 5, puis 1 pour faire le 6.

 

Soit la formule générale: D(n + 1) = D(n) + D(n–1)

C'est typiquement la formule de récurrence de la construction des nombres de Fibonacci.

Les compositions avec les nombres de 1 à k se calculent en utilisant les k-bonacci

 

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226.            Pesée des quatre billes – Énigme

 

Énigme

Vous disposez de quatre billes absolument identiques visuellement.

Une parmi les quatre est plus lourde ou plus légère (ambivalence), mais nous ne savons pas.

 

En deux pesées sur une balance à deux plateaux trouvez l'intrus et sa nature.

 

 

Solution

On effectue les deux pesées indiquées et on note les résultats de pesées en plus, égal, moins (+ , 0 , –). La conclusion est à lire dans le tableau.

 

Exemple de lecture du  tableau

En reprenant l'exemple, sur la troisième ligne à gauche: (0 +) signifie équilibre et plateau gauche descend, alors la bille 3 est plus légère (3–).

 

Oups!

Si on obtient deux fois l'équilibre, c'est la bille mise de côté (la 4 en dernière ligne) qui est fautive, mais on ne sait dire si elle est plus lourde ou plus légère.

 

Les deux pesées à effectuer

 

 

La bille 4 est laissée de côté dans les deux pesées

 

Sur cet exemple:

*      la première pesée montre que la bille fautive est la bille 3 ou la bille 4;

*      la seconde pesée indique que c'est la bille 3;

*      En plus, comparée à la bille 1 normale, la bille 3 est plus légère.

 

 Notation: 0 +
pour équilibre puis plateau gauche descend.

 

Tableau des conclusions en fonction des résultats de pesée

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227.            Écart record entre premiers

 

L'écart (prime gap) entre les nombres premiers 317 et 331 est de 14.  Il n'y a pas d'autres nombres premiers entre les deux.

 

Le théorème des nombres premiers indique que l'écart moyen entre deux premiers consécutifs jusqu'à n est égal à ln (n).

Le mérite d'un écart entre premiers est le rapport entre cet écart et l'écart moyen à ce niveau de nombres. Pour le couple (314, 331) on a m = 14 / ln(314) = 2,43…

Zhang a prouvé qu'il y une infinité d'écart plus petits que 70 000 000. En fait, asymptotiquement, 99% des premiers seraient suivi d'un premier avec un écart de plus de 70 millions.

 

 

En théorie, l'écart entre nombres premiers consécutifs peut être aussi grand qu'on le souhaite!

En effet:

*      n! + m est divisible par m pour m  n;

*      alors il y a n – 1 nombres composés consécutifs de n! + 2 à n! + n;

*    soit un écart égal à n quelconque.

 

C'est une autre chose que de les connaitre. La course au plus grand écart est intense, et en 2017, le mérite connu dépasse 40.

 

Record 2017
m = 41, 93 pour un nombre de 8 350 chiffres
par  Jonny Frey (Gapcoin).

 

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228.            Énigme des quatre verres

Énigme

Quatre verres sont disposés en carré sur un plateau tournant. Certains sont à l'endroit et les autres à l'envers.

Les yeux bandés, il vous est demandé de remettre tous les verres dans le même sens en un minimum d'opérations.

Une opération consiste à faire tourner le plateau. Vous prenez deux verres et vous pouvez:

*      les laisser tels quels,

*      en retourner un, ou

*      les retourner tous les deux.

Un observateur vous dit "FIN" si les verres sont tous dans le même sens (ou fait sonner une cloche).

 

Algorithme en cinq opérations

1) Mettre à l'endroit deux verres en diagonale;

2) Mettre à l'endroit deux verres adjacents;

3) Sur une diagonale, si l'un est à l'envers le retourner. FIN. Sinon, en retourner un à l'envers.

4) Retourner deux verres adjacents

5) Retourner deux vers en diagonale

 

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229.            Théorie – Théorèmes – Axiomes

 

La géométrie que nous apprenons en classe forme une théorie mathématique. Il existe d'autres géométries.

Elle repose sur des fondements constitués de:

*      quelques vérités évidentes énoncées sans preuve, appelées axiomes (deux choses égales à une troisième sont égales entre elles), ou encore

*      d'affirmations moins évidentes, mais qu'il faut admettre, appelées postulats (par deux points, il passe une ligne droite et une seule).

En mathématique, les affirmations, les vérités, les énoncés vrais … sont des assertions. Contraire de: hypothèses, suppositions, allégations, conjectures …

La théorie de la géométrie est construite sur ces fondements et, via un raisonnement logique, appelé démonstration, elle énonce des vérités, appelées théorèmes ou parfois lemmes, s'il s'agit de théorèmes dans une étape de démonstration.

Parfois, une vérité forte se révèle sans que la démonstration ait été trouvée, c'est une conjecture. En attente de preuve, la conjecture peut être utilisée comme hypothèse pour poursuivre le raisonnent et déduire de nouvelles conclusions qui deviendront théorèmes si la conjecture est prouvée

 

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230.            Factorielle

 

Factorielle n

Le terme "factorielle n", noté n!, est un raccourci pour nommé le produit de n nombres consécutifs à partir de 1.

 

Produit de nombres consécutifs

Le produit de k nombres consécutifs est divisible par k!

Ex: 7 . 8 . 9 = 504 = 6 x 84  = 3! x 84

11.12.13.14.15 = 360 360 = 120 x 3003

 

Factorielle somme

La factorielle d'une somme est divisible par le produit des factorielles des termes.

Ex: (3 + 4)! = 1.2.3.4.5.6.7 est divisible par (1.2.3)(1.2.3.4) = 3! . 4!

 

Cette propriété se démontre facilement:

1.2.3.4.5.6.7 = K . (1.2.3)(1.2.3.4) ?
Déjà divisible par 4! (en rose)

5.6.7 = K . 1.2.3 = K . 3!  C'est vrai en application de la propriété précédente: le produit de trois nombres consécutifs est divisible par 3!

 

Dénombrer

Chacun choisit son fruit, l'un après l'autre. Il y a 24 possibilité de répartition.

 

Permutations

La quantité  de permutations de n objets est égale  à factorielle n.

Ex: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (cb,a)
3!
= 6 permutations de trois objets.

 

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231.            Nombre à trouver

Exemple d'énigme

Trouver les trois chiffres (de 0 à 9) tels que ABC = 5 A . B . C

 

Décodage

Alors que A.B.C est le produit de trois nombres A, B et C, le premier membre ABC représente un nombre à trois chiffres A, et C.

Notations

La multiplication se note X entre nombres, parfois remplacé par un point.

Elle se note par un point entre lettres et souvent sans point lorsqu'il n'y pas de confusion possible.

 

Recherche: le nombre est divisible par 5 et se termine par 0 ou 5. Seul 5 est valable, car 0 entrainerait un produit nul. En développant l'égalité:

Premier membre impair => second membre impair => A et B impairs.

Essais pour A = 1 => 21 + 2B = B => B = 7

Les autres (A = 3, 5, 7, 9) sont infructueux.

 

Seule solution: 175 / 5 = 1 x 7 x 5

Nombre de Zuckerman

Notation

[175, 5]

175 est égal à 5 fois le produit de ses chiffres

Autres cas: Nombres de Zuckerman

72 pour k jusqu'à 100 et n jusqu'à 100 000.

[36, 2], [15, 3], [24, 3], [384, 4], [175, 5], [12, 6], [735, 7], [128, 8], [672, 8], [135, 9], [144, 9], [1575, 9], [11, 11], [1296, 12], [624, 13], [3276, 13], [224, 14], [816, 17], [216, 18], [432, 18], [34992, 18], [1197, 19], [12768, 19], [315, 21], [132, 22], [3168, 22], [115, 23], [6624, 23], [8832, 23], [2916, 27], [1176, 28], [1344, 28], [3915, 29], [93744, 31], [51975, 33], [82944, 36], [1184, 37], [31488, 41], [77616, 44], [77175, 45], [4416, 46], [12288, 48], [1715, 49], [18816, 49], [612, 51], [312, 52], [212, 53], [112, 56], [1416, 59], [6144, 64], [6912, 64], [4224, 66], [2144, 67], [35175, 67], [9315, 69], [13248, 69], [13824, 72], [1332, 74], [28416, 74], [16632, 77], [33264, 77], [11664, 81], [23328, 81], [13932, 86], [9612, 89], [89712, 89], [91728, 91], [2232, 93], [48128, 94], [18432, 96], [21728, 97], [42336, 98]

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232.            Nombre sans facteur carré

 

Définition

Un nombre carré est le produit de deux nombres identiques.

Un nombre avec facteur carré est un multiple d'un nombre carré.

Tous les autres sont sans facteurs carrés.

 

Propriété

Tout nombre se décompose en un produit de facteurs uniques (théorème fondamental de l'arithmétique).

Les facteurs d'un nombre sans facteur carré sont tous uniques  (sans puissance).

 

 

Exemple

 

Liste jusqu'à 100

2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97.

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233.            Pizza – Choix de la taille

 

Le choix

Vous avez le choix entre une grande pizza de 46 cm ou deux petites pizzas de 30 cm.

Vous en aurez plus en choisissant la 46. Cela vous surprend ?

 

Calcul des aires

 

 

Certains disent que ce qui est le meilleur c'est la croûte. Alors, il est préférable de choisir les deux petites.

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234.            Deviner les nombres

Le tour de magie

Le calculateur prodige Giacomo Inaudi savait trouver en 30 secondes les quatre nombres consécutifs dont on donnait la somme des carrés.

Emploi d'une formule simple; mais encore fallait-il savoir calculer une pseudo racine carrée (produit de deux nombres consécutifs).

 

Formule utilisée

 (n – 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)²

= 4n² + 4n + 6

= 4 n (n + 1) + 6

 

Avec cinq carrés

(n – 2)² + (n – 1)² + n² + (n + 1)² + (n + 2)²

= 5n² + 10

 

Exemple

La somme des quatre carrés est 2 606.

 

Calcul pour retrouver les 4 nombres

Retirer 6:                  2 600

Diviser par 4:             650

Produit de deux nombres consécutifs:

                                      650 = 25 x 26

Nombres cherchés: 24, 25, 26, 27.

En effet: 24² + 25² + 26² + 27² = 2 606

 

Encore plus facile avec 5 nombres

On donne la somme: 3 135

Retirer 10 : 3 125

Diviser par 5: 625

Prendre la racine carrée: 25

Nombres cherchés: 23, 24, 25, 26, 27.

En effet: 23² + 24² + 25² + 26² + 27² = 3 125

 

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235.            Angles dans trois carrés

Défi

Les trois angles dessinés dans ces trois carrés totalisent 90°. Est-ce évident à démontrer ?

 

Démonstration quasi-muette

Une duplication des carrés aide à réaliser une démonstration simple.

L'angle A est égal à 45° (diagonale du carré).

Le triangle rose est isocèle rectangle: isocèle car deux côtés égaux et rectangle car les angles B et D (dont la somme est 90°), reportés à côté du sommet du triangle isocèle, montrent que l'angle de ce sommet est égal à 90°.

Or, dans ce type de triangle, les angles à la base mesurent 45°.

Dans le coin bas-droit de la figure, les trois angles représentent bien A, B et C et leur somme vaut 90°.

 

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236.            Nombres de Proth et de Sierpinski

 

Nombres de Proth: nombres de la forme:  
C = k . 2n + 1
          
Avec  0 < kimpair < 2n

Certains critères permettent de détecter s'ils sont premiers ou composés.

 

Nombre de Sierpinski: valeur de k dans un nombre de Proth tels que N n'est jamais premier quelle que soit la valeur de n.

On ne sait pas encore de manière certaine quel est le plus petit. En début 2019, cinq nombres inférieurs au plus petit connu résistent encore aux tests car très grands. Ils étaient 17 au début de ce siècle.

 

 

Plus grand nombre de Proth premier connu

10 223 x 2311721165 + 1

C'est le neuvième plus grand premier connu en début 2019.

 

Plus petits nombres de Sierpinski

  78 557 est le plus petit connu.

271 129 est le deuxième plus petit connu et le plus petit premier connu.

 

 

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237.            Multiplication rapide à pivot

 

La méthode est illustrée par un exemple: 23 x 27.

On choisit un nombre "facile" proche des deux nombres à multiplier. Disons 20.

Les écarts sont 3 et  7 (en rouge)

Le produit se calcule simplement en multipliant les deux nombres aux coins en vert (20 x 30 = 600) et en lui ajoutant le produit des nombres en rouge (3 x 7 = 21).

Bilan: 23 x 27 = 600  21 = 621.

 

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