NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BRÈVES de MATHS – Page 13

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

240.            Nombre 13

 

Propriétés

Le nombre 13 est premier, jumeau avec 11. Il est permutable car 31 est aussi premier.

C'est un nombre de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

 

Divisibilité par 13

Les nombres de la forme abcabc sont divisibles par 13: 123 123 / 13 = 9 471.

C'est le cas notamment de 111 111 / 13 = 8 547.

 

Curiosités

13 = 2² + 3² = 7² – 6²

 

Mnémotechnique des nombres

13 a pour code mnémotechnique le mot TAMIS avec les consonnes sonores T pour 1 et M pour 3. D'autres mots avec T et M conviennent comme: tome, Tomas,  timon, atome, étamer, intime …

 

Nombre dichotomique et trichotomique

La période de l'inverse de 13 donne 999 lorsque coupée en deux et sommée; elle donne 99 lorsque coupée en trois et sommée.

C'est une propriété fréquente pour les inverses des nombres premiers.

 

Superstition

Souvent rapporté aux douze Apôtres de la Cène, la croyance au 13 comme étant maléfique remonte à l'Antiquité. 12 est symbole d'harmonie; lui ajouter 1 détruit la perfection.

Dans la Rome antique, les exécutions avaient lieu le 13.

Le treizième tarot ne porte pas de nom; il représente la mort, la transition…

 

Vendredi 13

Une année comporte au minimum un vendredi treize et au plus trois.

Un mois qui commence un dimanche 1er aura un vendredi 13.

 

Brèves associées

>>> Nombre 12

>>> Nombres de Fibonacci

>>> Nombre 14

Pour en savoir plus

>>> Nombre 13 – Culture

>>> Nombre 13 – Maths

>>> Nombre 13 – Superstition

>>> Nombres répétés

>>> Nombres dichotomiques

>>> Mnémotechnique

 

 

 

241.            Grandeurs utilisées en électricité

 

Six grandeurs

 

CHARGE – coulombs (C)

 

TENSION – volts (V)

 

INTENSITÉ – ampère (A)

 

RÉSISTANCE – ohms ()

 

PUISSANCE – watts (W)

 

ÉNERGIE – joules (J)

               ou wattheure (Wh)

 

 

Relations entre elles

 Voir les indications en jaune sur la figure.

Sans oublier la loi d'Ohm:

U = R x I

 

Analogie avec une chute d'eau

Une chute d'eau très haute crée une grande force, une grande pression, une grande tension.

Une grande intensité correspond à un grand débit; soit beaucoup d'eau (d'électrons) par seconde.

Beaucoup d'eau avec grande force crée une grande puissance.

Beaucoup de puissance pendant une longue durée engendre beaucoup d'énergie.

Quant la résistance à l'écoulement de l'eau, ce peut être des aspérités dans le tuyau, des rétrécissements intempestifs … Tout ce qui empêche l'écoulement libre. S'il s'agissait d'une rivière, on parlerait des rochers dans le lit ou des méandres du cours d'eau, etc. En électricité, il s'agit des appareils qui consomment de l'énergie comme les moteurs et surtout  de tous ceux qui chauffent (dissipation par effet Joule).

Le réservoir d'eau symbolise la quantité d'eau disponible, soit, la quantité d'électrons; on dit la charge.

 

Attention: l'analogie hydraulique a ses limites. Cette comparaison sert uniquement à aider à la mémorisation des grandeurs utilisées en électricité.

Pour en savoir plus

>>> Électricité – Approche

>>> Loi d'Ohm

>>> Unités SI

>>> Eau

 

 

242.            Petit théorème de Fermat

 

Un théorème très utile en théorie des nombres.

 

Il affirme qu'un nombre et sa puissance p, p étant un nombre premier, donnent le même reste lorsqu'on les divise par p.

 

Exemple: le reste vaut 1 pour les deux divisions

 

Avec ce théorème inutile faire les calculs pour connaitre le reste d'une division.

 

Exemples

1213 divisé par 13, reste 12 (comme pour 12 /13)

1313 divisé par 13, reste 0   (comme pour 13 /13)

1413 divisé par 13, reste 1   (comme pour 14 /13)

 

 

Théorème

 

 

On lit: quel que soit le nombre a appartenant à N (N est l'ensemble des nombres entiers) et quel que soit le nombre premier p, la différence entre la puissance p de a et a lui-même, est congru à 0 modulo p (ou donne un reste nul lorsque cette différence est divisée par p).

Notez la concision de la formulation par rapport au texte explicite. Certes, il faut un peu d'habitude.

 

Exemple particulier a = 2

Forme arithmétique

Forme théorie des nombres

 

Brèves associées

>>> Théorème de Fermat-Wiles

>>> Modulo

Pour en savoir plus

>>> Petit théorème de Fermat

>>> Fermat (1607?-1665)

>>> Ensemble des nombres entiers

 

 

243.            Calcul différentiel et intégral

 

Approche

Prenons un phénomène modélisé par une courbe pas forcément très sympathique. Comment s'y prendre pour connaitre:

*      son taux de variation: la pente de la courbe, sa dérivée;

*      l'aire de la surface balayée: l'intégrale.

 

Prenons un phénomène connu localement, comment imaginer le comportement d'ensemble ? En utilisant le calcul intégral.

 

Exemple

Si la fonction est la distance parcourue par un mobile, sa dérivée est la vitesse instantanée. Et, la dérivée de la vitesse est l'accélération.

Si on connait la vitesse instantanée d'un mobile, pour reconstituer la distance parcourue on procédera à l'intégration de la vitesse.

 

Découverte

En 1684, Leibniz publie ses travaux sur le calcul différentiel et intégral, prenant de vitesse Newton et sa méthode des fluxions. Dans un premier temps la correspondance entre ces deux hommes attestent de leur respect mutuel.

C'est l'entourage de Newton qui jalouse l'expansion de la méthode Leibniz en Europe et qui attise la polémique. C'est pourtant la méthode de Leibniz et ses notations, plus simple, qui va s'imposer.

 

 

Illustration

 

Calcul différentiel: la pente de la courbe (sa tangente) tout le long de la courbe est appelée la fonction dérivée.  On s'intéresse à la modulation de la courbe.

 

Calcul intégral: la surface balayée par la courbe est appelée sa primitive. Son calcul est nommé: intégration.

 

Double-face

Dérivée et intégrale sont deux opérations inverses comme le sont la multiplication et la division.

Brèves associées

>>> Arithmétique

>>> Calcul et maths

Pour en savoir plus

>>> Calcul différentiel – Approche

>>> Calcul intégral – Approche

>>> Dérivée – Liste

>>> Primitives – Liste

 

 

244.            Ontologie des maths

 

Qu'en pensez-vous? Est-ce que la propriété des nombres énoncée par le théorème de Fermat-Wiles existait avant que Fermant ne la formalise sous cette équation:

 

  

N'existe pas pour n entier > 2

 

La réponse semble évidemment oui. Cette propriété était latente et n'attendait qu'à être révélée.

L'humanité braque une torche mathématique sur le monde des nombres et, jour après jour, éclaire de nouvelles zones, révélant de nouvelles propriétés. Une propriété mathématique mise au jour est vraie pour toujours.

 

 

Kurt Gödel est connu pour avoir démontré qu'il impossible de poser des hypothèses minimales et en déduire une théorie mathématique complète. Il pourrait être sceptique et prétendre que les maths ne sont qu'inventions humaines.

Pour lui, les concepts mathématiques "forment une réalité objective à part que nous ne pouvons pas créer ou modifier, mais simplement percevoir et définir".

 

Platonisme mathématique ou réalisme mathématique: les entités mathématiques  ont une existence objective. Elles ne sont pas une abstraction humaine. Le monde platonicien des mathématiques existe indépendamment de la réalité physique.

 

Triangle de Penrose: monde physique, monde mental et monde platonicien des mathématiques.

Extrait du livre d'Edward Frenkel: Amours et Maths

 

Extrait consultable en e-book sur Internet

Brèves associées

>>> Théorème de Fermat-Wiles

>>> Infini

Pour en savoir plus

>>> Ontologie

>>> Platon

>>> Kurt Gödel et l'incomplétude

>>> Penrose

 

 

245.            Amusements avec les carrés

 

Nombres impairs

Tout nombre impair est la somme de deux nombres consécutifs dont la différence des carrés redonne le nombre initial.

 

Motif amusant basé sur cette propriété

    11 =     6 +     5 =      6² –     

  111 =   56 +   55 =    56² –   55²

1111 = 556 + 555 = 556² – 555²

Justification algébrique

(k+1)² – k² = k² + 2k + 1 – k² = 2k + 1

=> ce nombre est impair.

(k+1)² – k² – 1 = k² + 2k + 1 – k² – 1 = 2k

=> ce nombre est pair.

(k+2)² – (k–2)² = k² + 2k + 4 – k² + 2k – 4 = 4k

=> ce nombre est divisible par 4.

 

Nombres divisible par 4

Tout nombre divisible par 4 est la différence des carrés de deux nombres situés de part et d'autre du quotient.

 

Nombres pairs

Tout nombre pair est la différence de carrés de deux nombres successifs moins 1, le plus petit étant la moitié du nombre initial.

Normal: un nombre pair est égal

à un nombre impair auquel on retire 1.

 

Brèves associées

>>> Identités remarquables

>>> Nombres pairs et impairs

Pour en savoir plus

>>> Nombres pairs / impairs  et carrés

 

 

 

 

 

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