NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Atlas des maths

 

Page 11 (200-219)

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Page 14 (260-279)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 13

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

240.            Nombre 13

 

Propriétés

Le nombre 13 est premier, jumeau avec 11. Il est permutable car 31 est aussi premier.

C'est un nombre de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

 

Divisibilité par 13

Les nombres de la forme abcabc sont divisibles par 13: 123 123 / 13 = 9 471.

C'est le cas notamment de 111 111 / 13 = 8 547.

 

Curiosités

13 = 2² + 3² = 7² – 6²

 

Mnémotechnique des nombres

13 a pour code mnémotechnique le mot TAMIS avec les consonnes sonores T pour 1 et M pour 3. D'autres mots avec T et M conviennent comme: tome, Tomas,  timon, atome, étamer, intime …

 

Nombre dichotomique et trichotomique

La période de l'inverse de 13 donne 999 lorsque coupée en deux et sommée; elle donne 99 lorsque coupée en trois et sommée.

C'est une propriété fréquente pour les inverses des nombres premiers.

 

Superstition

Souvent rapporté aux douze Apôtres de la Cène, la croyance au 13 comme étant maléfique remonte à l'Antiquité. 12 est symbole d'harmonie; lui ajouter 1 détruit la perfection.

Dans la Rome antique, les exécutions avaient lieu le 13.

Le treizième tarot ne porte pas de nom; il représente la mort, la transition…

 

Vendredi 13

Une année comporte au minimum un vendredi treize et au plus trois.

Un mois qui commence un dimanche 1er aura un vendredi 13.

 

Brèves associées

>>> Nombre 12

>>> Nombres de Fibonacci

>>> Nombre 14

Pour en savoir plus

>>> Nombre 13 – Culture

>>> Nombre 13 – Maths

>>> Nombre 13 – Superstition

>>> Nombres répétés

>>> Nombres dichotomiques

>>> Mnémotechnique

 

 

 

241.            Grandeurs utilisées en électricité

 

Six grandeurs

 

CHARGE – coulombs (C)

 

TENSION – volts (V)

 

INTENSITÉ – ampère (A)

 

RÉSISTANCE – ohms ()

 

PUISSANCE – watts (W)

 

ÉNERGIE – joules (J)

               ou wattheure (Wh)

 

 

Relations entre elles

 Voir les indications en jaune sur la figure.

Sans oublier la loi d'Ohm:

U = R x I

 

Analogie avec une chute d'eau

Une chute d'eau très haute crée une grande force, une grande pression, une grande tension.

Une grande intensité correspond à un grand débit; soit beaucoup d'eau (d'électrons) par seconde.

Beaucoup d'eau avec grande force crée une grande puissance.

Beaucoup de puissance pendant une longue durée engendre beaucoup d'énergie.

Quant la résistance à l'écoulement de l'eau, ce peut être des aspérités dans le tuyau, des rétrécissements intempestifs … Tout ce qui empêche l'écoulement libre. S'il s'agissait d'une rivière, on parlerait des rochers dans le lit ou des méandres du cours d'eau, etc. En électricité, il s'agit des appareils qui consomment de l'énergie comme les moteurs et surtout  de tous ceux qui chauffent (dissipation par effet Joule).

Le réservoir d'eau symbolise la quantité d'eau disponible, soit, la quantité d'électrons; on dit la charge.

 

Attention: l'analogie hydraulique a ses limites. Cette comparaison sert uniquement à aider à la mémorisation des grandeurs utilisées en électricité.

Pour en savoir plus

>>> Électricité – Approche

>>> Loi d'Ohm

>>> Unités SI

>>> Eau

 

 

242.            Petit théorème de Fermat

 

Un théorème très utile en théorie des nombres.

 

Il affirme qu'un nombre et sa puissance p, p étant un nombre premier, donnent le même reste lorsqu'on les divise par p.

 

Exemple: le reste vaut 1 pour les deux divisions

 

Avec ce théorème inutile faire les calculs pour connaitre le reste d'une division.

 

Exemples

1213 divisé par 13, reste 12 (comme pour 12 /13)

1313 divisé par 13, reste 0   (comme pour 13 /13)

1413 divisé par 13, reste 1   (comme pour 14 /13)

 

 

Théorème

 

 

On lit: quel que soit le nombre a appartenant à N (N est l'ensemble des nombres entiers) et quel que soit le nombre premier p, la différence entre la puissance p de a et a lui-même, est congru à 0 modulo p (ou donne un reste nul lorsque cette différence est divisée par p).

Notez la concision de la formulation par rapport au texte explicite. Certes, il faut un peu d'habitude.

 

Exemple particulier a = 2

Forme arithmétique

Forme théorie des nombres

 

Brèves associées

>>> Théorème de Fermat-Wiles

>>> Modulo

Pour en savoir plus

>>> Petit théorème de Fermat

>>> Fermat (1607?-1665)

>>> Ensemble des nombres entiers

 

 

243.            Calcul différentiel et intégral

 

Approche

Prenons un phénomène modélisé par une courbe pas forcément très sympathique. Comment s'y prendre pour connaitre:

*      son taux de variation: la pente de la courbe, sa dérivée;

*      l'aire de la surface balayée: l'intégrale.

 

Prenons un phénomène connu localement, comment imaginer le comportement d'ensemble ? En utilisant le calcul intégral.

 

Exemple

Si la fonction est la distance parcourue par un mobile, sa dérivée est la vitesse instantanée. Et, la dérivée de la vitesse est l'accélération.

Si on connait la vitesse instantanée d'un mobile, pour reconstituer la distance parcourue on procédera à l'intégration de la vitesse.

 

Découverte

En 1684, Leibniz publie ses travaux sur le calcul différentiel et intégral, prenant de vitesse Newton et sa méthode des fluxions. Dans un premier temps la correspondance entre ces deux hommes attestent de leur respect mutuel.

C'est l'entourage de Newton qui jalouse l'expansion de la méthode Leibniz en Europe et qui attise la polémique. C'est pourtant la méthode de Leibniz et ses notations, plus simple, qui va s'imposer.

 

 

Illustration

 

Calcul différentiel: la pente de la courbe (sa tangente) tout le long de la courbe est appelée la fonction dérivée.  On s'intéresse à la modulation de la courbe.

 

Calcul intégral: la surface balayée par la courbe est appelée sa primitive. Son calcul est nommé: intégration.

 

Double-face

Dérivée et intégrale sont deux opérations inverses comme le sont la multiplication et la division.

Brèves associées

>>> Arithmétique

>>> Calcul et maths

Pour en savoir plus

>>> Calcul différentiel – Approche

>>> Calcul intégral – Approche

>>> Dérivée – Liste

>>> Primitives – Liste

 

 

244.            Ontologie des maths

 

Qu'en pensez-vous? Est-ce que la propriété des nombres énoncée par le théorème de Fermat-Wiles existait avant que Fermant ne la formalise sous cette équation:

 

  

N'existe pas pour n entier > 2

 

La réponse semble évidemment oui. Cette propriété était latente et n'attendait qu'à être révélée.

L'humanité braque une torche mathématique sur le monde des nombres et, jour après jour, éclaire de nouvelles zones, révélant de nouvelles propriétés. Une propriété mathématique mise au jour est vraie pour toujours.

 

 

Kurt Gödel est connu pour avoir démontré qu'il impossible de poser des hypothèses minimales et en déduire une théorie mathématique complète. Il pourrait être sceptique et prétendre que les maths ne sont qu'inventions humaines.

Pour lui, les concepts mathématiques "forment une réalité objective à part que nous ne pouvons pas créer ou modifier, mais simplement percevoir et définir".

 

Platonisme mathématique ou réalisme mathématique: les entités mathématiques  ont une existence objective. Elles ne sont pas une abstraction humaine. Le monde platonicien des mathématiques existe indépendamment de la réalité physique.

 

Triangle de Penrose: monde physique, monde mental et monde platonicien des mathématiques.

Extrait du livre d'Edward Frenkel: Amours et Maths

 

Extrait consultable en e-book sur Internet

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Pour en savoir plus

>>> Ontologie

>>> Platon

>>> Kurt Gödel et l'incomplétude

>>> Penrose

 

 

245.            Amusements avec les carrés

 

Nombres impairs

Tout nombre impair est la somme de deux nombres consécutifs dont la différence des carrés redonne le nombre initial.

 

Motif amusant basé sur cette propriété

    11 =     6 +     5 =      6² –     

  111 =   56 +   55 =    56² –   55²

1111 = 556 + 555 = 556² – 555²

Justification algébrique

(k+1)² – k² = k² + 2k + 1 – k² = 2k + 1

=> ce nombre est impair.

(k+1)² – k² – 1 = k² + 2k + 1 – k² – 1 = 2k

=> ce nombre est pair.

(k+2)² – (k–2)² = k² + 2k + 4 – k² + 2k – 4 = 4k

=> ce nombre est divisible par 4.

 

Nombres divisible par 4

Tout nombre divisible par 4 est la différence des carrés de deux nombres situés de part et d'autre du quotient.

 

Nombres pairs

Tout nombre pair est la différence de carrés de deux nombres successifs moins 1, le plus petit étant la moitié du nombre initial.

Normal: un nombre pair est égal

à un nombre impair auquel on retire 1.

 

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246.            Un à la puissance i

 

Le nombre 1 multiplié k fois par lui-même reste égal à 1.
Autrement-dit: 1k = 1

Mais est-ce vrai pour 1 porté à la puissance imaginaire i ?

La réponse tentante est "oui". Mais, comment le prouver. Pas si simple!

 

Il faut d'abord examiner le cas d'un entier n porté à une puissance complexe (a + ib) et prendre sa forme exponentielle.

Ensuite, on peut y introduire n = 1, a = 0 et b = 1 et obtenir le résultat cherché.

 

 

Dans la mesure ou ln (1) = 0, ce résultat est généralisable à toutes les puissances complexes de 1:    1a + ib = 1.

Brèves associées

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>>> Nombres complexes

Pour en savoir plus

>>> Nombres portés à une puiisance complexe

 

 

247.            Loi de l'étalement uniforme

 

Loi de Benford

La loi de l'étalement uniforme de la partie fractionnaire est une loi simple qui est susceptible d'expliquer la loi de Benford ou loi du premier chiffre significatif: la probabilité de rencontrer un chiffre en tête d'un nombre va en décroissant du 1 (30%) au 9 (4,6%).

Jean-Paul Delahaye

 

Étalement uniforme

La loi énonce en gros que: parmi une collection de nombres réels pris au hasard, si on ne conserve que la partie fractionnaire, celle-ci sera uniformément répartie entre 0 et 1.

 

 

Exemples

[7.9, 3.7, 9.6, 8.3, 5.1, 7.4, 5., .40, .30, 9.7],

[1, 0, 2, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 1]

sur 1000 valeurs

[98, 98, 104, 94, 91, 96, 101, 114, 107, 97]

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>>> Ensembles des nombres

Pour en savoir plus

>>> Loi de Benford

 

 

248.            Loi de Benford

 

Loi de Benford

ou loi du premier chiffre significatif

La probabilité de rencontrer un chiffre en tête d'un nombre va en décroissant comme le montre le graphique.

 

Historique

En 1881, Simon Newcomb (1835-1909), un mathématicien et astronome, constate que les premières pages des tables de logarithmes sont plus usées que les autres. Il formule une loi qui tomba dans l'oubli.

En 1938, Frank Benford, un physicien américain, redécouvre une loi du même type.

 

Intérêt

Cette loi est utilisée pour détecter les fraudes. Si les données son inventées, il est plus que probable qu'elles ne suivront pas la loi de Benford. La répartition sera probablement plus uniforme que pour des données réelles.

 

Newcomb proposait

The law of probability of the occurrence of numbers is such that all mantissae or their logarithms are equally like

La loi de probabilité d'occurrence des nombres est telle que toutes les mantisses des logarithmes sont uniformes.

 

 

Probabilité d'occurrence du premier chiffre dans une série de nombres

 

Table et formule  de Newcomb

 

Pour en savoir plus

>>> Loi de Benford

>>> Logarithmes

>>> Anglais: le bagage mimimum au bac

 

 

249.            Mot de Fibonacci

 

Mot de Fibonacci

Comme pour la suite de Fibonacci, on commence à poser deux valeurs de départ:  M1 = 1 et = 0

On dit "mot" car les valeurs de départ peuvent être des lettres ou des symboles.

Puis on fixe une règle de construction par récurrence: concaténation (juxtaposition) des deux derniers mots.

M3 = M2M1 = 01

M4 = M3M2 = 010

M5 = M4M3 = 01001

M6 = M5M4 = 01001010

M7 = M6M5 = 0100101001001

 

La quantité de chiffres est égale au nombre de Fibonacci de même rang, celle de "0" au Fibonacci de rang inférieur et celle de "1" de rang un cran en dessous.

 

Fractale du mot de Fibonacci

En interprétant le mot binaire comme des instructions de progression, on obtient ce genre de jolie courbe.

 

Propriétés

Elle ne se recoupe jamais.

Sa dimension fractale: 1, 637…

Sa programmation avec le logiciel Scratch est très facile et de très bon effet (Voir le lien).

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Pour en savoir plus

>>> Mot de Fibonacci

>>> Fractale du mot de Fibonacci

 

 

250.            Nombres S-Parfaits

 

Une idée de la construction

Méthode de sélection des diviseurs telle que la somme de ces nouveaux élus soit égale au nombre initial; ce nombre est alors S-parfait.

 

Historique

C'est en 1996, qu'Andrew Granville propose ce type de nombres à Jean-Marie De Koninck et Aleksandar Ivié.

 

Valeurs

6, 24, 28, 96, 126, 224, 384, 496, 1 536 …

 

Avec 6 et 28 qui sont de vrais nombres parfaits.

 

Le nombre 126 est le seul S-parfait connu comportant trois facteurs distincts.

Ils sont tous divisibles par 2, et souvent par une puissance de 2. Ex: 1 536 = 29 x 3.

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Pour en savoir plus

>>> Nombres S-parfaits – Méthode d'élaboration

 

 

251.            Multiplication rapide

 

Prenons un exemple: 54 x 32.

Se référer à l'illustration de gauche.

Sur les colonnes de gauche comme de droite, on effectue simplement le produit des chiffres de la colonne.
Quant au milieu, on effectue la somme des produits croisés.

Se référer au tableau de droite.

Ce tableau indique comment placer les produits obtenus, en les décalant.

Le produit est la somme par colonne en tenant compte des retenues éventuelles.

 

    

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>>> Multiplications mentales rapides

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252.            Lemniscate

 

Courbe

Courbe obtenue en déplaçant un point dont le produit des distances à deux points fixes (les foyers) est constant.

Elle est en forme de huit, symbole de l'infini.

 

Constante

Comme Pi pour le cercle, la constante de la lemniscate permet le calcul de son périmètre P par rapport à sa dimension c.
L = 5,2441…   = P / c

 

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Pour en savoir plus

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253.            Cryptologie

 

Cryptologie: science du secret, comprend:

*      cryptographie:  écriture secrète;

*      cryptanalyse:    analyse de l'écriture secrète.

 

Cryptographie: protection des messages notamment durant leur transmission d'un émetteur vers un récepteur.

Elle comprend:

*      la cryptographie symétrique ou clé secrète, et

*      la cryptographie asymétrique ou à clé publique.

 

 

Exemple le plus simple

Le plus ancien système de codage de message consiste à substituer chaque lettre par la lettre située dans l'alphabet un peu plus loin.

ABCD avec un décalage de 2 devient: CDEF.

 

Faiblesse de la méthode

Actuellement la méthode est archi-connue, mais au-delà de cela, ce type de méthode présente une faiblesse rédhibitoire. En français on connait la fréquence des lettres et alors, on sait reconnaître les plus fréquentes dans le message.

 

Lettres les plus fréquentes en français:

E A I S N R T O L U D

Pour en savoir plus

>>> Codage par décalage de lettres

>>> Cryptologie – Introduction et Index

>>> Fréquence des lettres

 

 

254.            Triangles dans le triangle

 

Combien de triangles dans le triangle bleu ?

 

 

En jaune: 1 + 2 + 2 + 1 + 2 = 8 = 23 triangles

 

Et dans celui-ci ?  On note n la quantité de segments découpés sur un des côtés

 

Ce triangle bleu, avec n = 4, contient 43 triangles.

Avec n quelconque, le triangle contient n3 triangles.

 

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>>> Triangles dans le triangle

>>> Dénombrement – Index

 

 

255.            Souris sur un triangle

 

Énigme

Trois souris se trouvent au sommet d'un triangle équilatéral. Soudain, chacune choisit son sens et s'élance sur le périmètre, toutes à la même vitesse. Quelle est la probabilité qu'elles ne rencontrent jamais ?

 

Solution

Chacune choisit un sens de parcours parmi 2. Soit 8 possibilités pour les trois souris (2x2x2 = 23).

Elles ne se rencontrent jamais si elles tournent toutes dans le même sens. Soit 2 possibilités.

La probabilité de non-rencontre est: 2/8  =1/4 = 25%.

 

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>>> Pesée des quatre billes

Pour en savoir plus

>>> Probabilités – Calculs

 

 

256.            Conversion binaire

 

Décimale vers binaire

4310 = 1010112

 

Qui se lit: 43 en base 10 (base décimale) est égal à 101011 en base 2 (binaire)

 

Explications

La procédure consiste à diviser le nombre par 2 et à conserver le reste, puis faire la même chose avec le quotient.

43 = 2 x 21 + 1, je garde le 1 en poids fort (chiffre à gauche du nombre binaire)

Je continue avec 21 = 2 x 10 + 1, etc.

 

 

Tableau de conversion décimal vers binaire

 

 

Binaire vers décimal

11012 = 1310

 

Qui se lit: 1101 en base 2 (binaire) est égal à 13 en base 10 (base décimale)

 

Explications

Le 1 à droite "pèse" 1;

Le 0 qui suit contribue pour 0;

Le 1 ensuite est dans la colonne de poids 22 = 4, il "pèse" 4;

Le 1 final à gauche ajoute 23 = 8; et

La somme des poids donne:

1 + 0 + 4 + 8 = 13

 

Tableau de conversion de binaire en décimal

 

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257.            Rencontres sportives

 

Énigme

Ce club comporte 10 équipes et le tournoi consiste à ce que chaque équipe rencontre chacune des autres et cela deux fois pour le match retour. Combien de matchs?

 

Trois équipe – Un match (illustration)

La première équipe joue avec la 2 puis le 3, soit 2 matchs; La deuxième équipe joue avec la 3, soit  1 match.

Bilan pour trois équipes: 2 + 1 = 3 matchs

 

Dix équipe – Deux matchs

La première équipe joue contre les 9 autres, etc.

Bilan: 2 fois (9 + 8 + … + 1)

= 2 x (9 x 10) / 2 = 90 matchs.

 

Rencontre entre trois équipes: 3 matchs

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258.            Hexagone et dodécagone

 

Construction

Un hexagone central, autour duquel on construit une étoile à six branches, un grand hexagone (limité en bleu) et un dodécagone.

 

Aire de ces polygones

Hexagone central: 6T (six fois le triangle équilatéral).

Étoile: 6T + 6T = 12T

Grand hexagone: 12T + 12T = 24T

Dodécagone: 6T + 6T + 6C = 12T + 6C

 

Rapports entre toutes ces surfaces

Hexagone et dodécagone

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259.            Nombres de Harshad

 

Définition

Nombre divisible par la somme de ses chiffres.

 

Exemple de 10 à 50

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50

 

Chaine de Harshad (nombres consécutifs)

 

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Harshad_fichiers/image014.jpg

 

Le nombre 18 est divisible par (1 +8 = 9)

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