NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Maths en se divertissant

 

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Page 12 (220-239)

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Page 15 (280-299)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 14

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

260.            Nombre 100

 

Linguistique

Cinq-cents euros, mais cinq-cent-dix euros.

Hecto = x 100  et Déci = 1/100

Are       = 100 m² (carré de 10 m de côté)

Siècle  = 100 ans

Quintal = 100 kg

Hécatombe = sacrifice de 100 bœufs.

 

Propriétés

Divisible par: 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50

 

Pépites numériques

100 = 10² = 1 + 8 + 27 + 64

100 = 36 + 64

 

Somme des impairs et somme des premiers

100 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 19

100 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23

 

Opération pannumérique

 100 = 123 – 45 – 67 + 89

Tous les chiffres de 1 à 9 et dans l'ordre

 

Jeu des quatre 4

Rappel:  4! = 1 x 2 x 3 x 4

 

Autres langues

Phonétique

Cens (censitaire) / Cent = 100 / San Antonio

Sang des veines / Sans vie

S'en va et revient / Sent fort

 

Brèves associées

>>> Nombre 10

>>> Orthographe des nombres

Pour en savoir plus

>>> Nombre 100

>>> Pépites numériques

>>> Cent avec les chiffres

>>> Jeu des quatre 4

 

 

261.            Âne Rouge

 

Le jeu de l'âne rouge (red donkey) est un cousin du jeu de taquin. C'est un jeu de déplacement de pièces dans un cadre défini.

 

Ce jeu est réalisable et la solution la plus rapide exige 81 déplacements. Solution publiée en 1964 par Martin Gardner et depuis, vérifiée par ordinateur.

 

De nombreuses variantes sont apparues comme jeux de société et surtout comme jeux vidéo. Le Sokoban, par exemple, présente un entrepôt dans lequel un personnage doit déplacer des caisses.

 

La programmation de la résolution de tels jeux n'est pas des plus simples du fait de l'explosion combinatoire: emballement de la quantité de situations à analyser.

 

Configurations départ et arrivée

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Deplacem/Anerouge_fichiers/image011.jpghttp://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Deplacem/Anerouge_fichiers/image013.jpg

 

Vous pouvez découper des morceaux de carton et réaliser vous-même ce puzzle.

Brèves associées

>>> Le fortin et ses gardes

>>> Solution animée sur Internet

Pour en savoir plus

>>> Puzzle de l'âne rouge

>>> Jeu de taquin

>>> Énigmes et puzzles – Index

 

 

262.            Pseudo-premiers – 341

 

Théorème

Les Chinois formulaient cette hypothèse:

 

Pour tout premier p,

2p – 2 est divisible par p.

 

C'est vrai et cela se démontre avec le petit théorème de Fermat.

 

Exemples

23 – 2 = 6     et    6/3 = 2

25 – 2 = 30   et  30/5 = 6

211 – 2 = 2 046   et  2 046/11 = 186

 

 

Réciproque:

Est-ce que: tous les nombres en 2p – 2, divisible par p sont premiers?

Réponse: en majorité, oui, mais pas toujours.

 

Plus petit cas

2341 – 2 est divisible par 341

et, pourtant 341 = 31x11 n'est pas premier.

 

Pseudo-premiers

On aurait pu imaginer trouver tous les nombres premiers en testant simplement cette relation.

Tous les nombres qui passent le test sans être premiers comme 341 sont appelés nombres pseudo-premiers.

 

Brèves associées

>>> Petit théorème de Fermat

>>> Nombres premiers

>>> Algorithme de recherche des premiers

Pour en savoir plus

>>> Nombres pseudo-premiers

>>> Nombre 341

 

 

263.            Les nombres k-bonacci

 

Fibonacci : somme des deux précédents

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

Ex: 8 = 3 + 5.

 

Tribonacci : somme des trois précédents

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415

 

Trétranacci : les quatre précédents

1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953

 

Ces nombres sont les coefficients des développements d'un polynôme-fraction. Identités valables pour x compris entre 0 et 1.

 

Fibonacci

 

Tribonacci

 

Trétranacci

 

 

Un nombre k-bonacci de rang n indique la quantité de partitions du nombre n avec les nombres de 1 à k.

 

Exemple

Fibonacci 5 = 8

=> il y a 8 partitions du nombre 5 avec les nombres 1 et 2. Ce sont:  1+1+1+1+1; 1+1+1+2; 1+1+2+1; 1+2+1+1; 2+1+1+1; 1+2+2; 2+1+2; 2+2+1.

Brèves associées

>>> Suite de Fibonacci

>>> Fibonacci et programme Scratch

Pour en savoir plus

>>> Suite de Fibonacci généralisées

>>> Quantité de partitions et Fibonacci

>>> Programmation – Index

 

 

264.            Carré alpha-magique

 

Le carré avec des nombres écrits en toutes lettres est magique: même somme en lignes, colonnes et diagonales. Voir sa transcription en tableau de nombres (jaune à gauche).

 

En plus, la quantité de lettres forme le carré magique de droite.

 

Les nombres du second carré sont des nombres consécutifs (de 5 à 13). C'est un véritable carré alpha-magique.

 

Et, c'est le plus petit en langue française lorsqu'on ne compte pas les espaces et les traits d'union.

 

Brèves associées

>>> Carrés magiques 3x3

>>> Triangles magiques

Pour en savoir plus

>>> Carrés alpha-magiques

>>> Nombres en toutes lettres

>>> Quantité de lettres dans les nombres

>>> Carré magiques de toutes sortes

 

 

265.            Somme de produits de premiers

 

Somme de deux premiers

La somme de deux nombres premiers n'est pas divisible par l'un des premiers de la somme.

 

 

 

Somme de deux produits de premiers

La somme de deux produits de nombres premiers distincts n'est pas divisible par l'un des premiers de la somme.

 

 

Cas de 3 x 11 + 5 + 13 = 98
98 est un nombre composé divisible par 2 et par 7, mais pas par l'un des quatre premiers de l'opération: 3, 5, 11 et 13.

 

Exemple avec deux premiers

 

 

Si l'un des termes de la somme est divisible par l'un des premiers, l'autre ne l'est pas. En effet, les nombres premiers sont premiers entre eux et la division de l'un par l'autre donne une fraction irréductible.

Multiplier chaque terme de la somme par un nombre premier différent ne change pas cette propriété: l'un des termes reste irréductible.

 

Exemple avec deux sommes de produits de premiers

Brèves associées

>>> Entiers avec somme de chiffres identique et divisibilité par 9

>>> Premiers avec somme de chiffres identique et divisibilité par 6

Pour en savoir plus

>>> Somme de produits de premiers et divisibilité par un premier

>>> Fraction irréductible

>>> Nombres premiers entre eux

 

 

266.            Programme de Langlands

 

"Le plus important concept des mathématiques qui est apparu dans ces clinquantes dernières années. La Grande Théorie d'unification des mathématiques. Ce champ de recherche fascinant jette des ponts prometteurs entre des domaines mathématiques qui paraissent à des années-lumière les uns des autres: algèbre, géométrie, théorie des nombres, analyse et physique quantique." – Edward Frenkel

 

"Expliquer ce qu’est le programme de Langlands n’est pas chose facile. Celui-ci mélange l’analyse harmonique sur les groupes topologiques non commutatifs, l’arithmétique des groupes de Galois de corps de nombres et la géométrie arithmétique.

Très concrètement, il s’agit de comprendre certaines séries génératrices de la forme:

 

 

Edward Frenkel (né en 1968 en Russie) est professeur de mathématiques à Berkeley. Mathématicien juif prodige, empêché dans ses études supérieures, il répond positivement à l'appel des mathématiciens américains.

Ses travaux sur l'algèbre affine de Kac-Moody, lui offriront l'occasion de participer au programme de Robert Langlands.

Il se fera remarquer pour avoir tatoué la formule de l'amour sur le corps de sa compagne.  

Pour en savoir plus

>>> Programme de Langlands

>>> Fonction Zêta

>>> Géographie – Index

 

Situation de l'Université de Californie-Berkeley

 

 

 

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