NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Maths en se divertissant

 

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Atlas des maths

 

Page 12 (220-239)

Page 13 (240-259)

Page 14 (260-279)

Page 15 (280-299)

 

 

 

 

 

BRÈVES de MATHS – Page 14

Un millier de faits et chiffres

sur les nombres et les mathématiques

 

Ces pages sont dédiées à tous ceux qui veulent aborder les mathématiques en douceur et en s'amusant tout en découvrant les aspects les plus fondamentaux de cette discipline. Un parcours à picorer avec nombreux liens d'orientation vers les développements destinés à satisfaire votre curiosité.

En principe ces pages sont très abordables sans connaissances particulières de maths. Elles sont proposées dans un ordre quelconque favorisant la découverte de sujets multiples.

Anglais: Facts and figures about numbers and mathematics

 

 

260.            Nombre 100

 

Linguistique

Cinq-cents euros, mais cinq-cent-dix euros.

Hecto = x 100  et Déci = 1/100

Are       = 100 m² (carré de 10 m de côté)

Siècle  = 100 ans

Quintal = 100 kg

Hécatombe = sacrifice de 100 bœufs.

 

Propriétés

Divisible par: 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50

 

Pépites numériques

100 = 10² = 1 + 8 + 27 + 64

100 = 36 + 64

 

Somme des impairs et somme des premiers

100 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 19

100 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23

 

Opération pannumérique

 100 = 123 – 45 – 67 + 89

Tous les chiffres de 1 à 9 et dans l'ordre

 

Jeu des quatre 4

Rappel:  4! = 1 x 2 x 3 x 4

 

Autres langues

Phonétique

Cens (censitaire) / Cent = 100 / San Antonio

Sang des veines / Sans vie

S'en va et revient / Sent fort

 

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261.            Âne Rouge

 

Le jeu de l'âne rouge (red donkey) est un cousin du jeu de taquin. C'est un jeu de déplacement de pièces dans un cadre défini.

 

Ce jeu est réalisable et la solution la plus rapide exige 81 déplacements. Solution publiée en 1964 par Martin Gardner et depuis, vérifiée par ordinateur.

 

De nombreuses variantes sont apparues comme jeux de société et surtout comme jeux vidéo. Le Sokoban, par exemple, présente un entrepôt dans lequel un personnage doit déplacer des caisses.

 

La programmation de la résolution de tels jeux n'est pas des plus simples du fait de l'explosion combinatoire: emballement de la quantité de situations à analyser.

 

Configurations départ et arrivée

http://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Deplacem/Anerouge_fichiers/image011.jpghttp://villemin.gerard.free.fr/aJeux1/Deplacem/Anerouge_fichiers/image013.jpg

 

Vous pouvez découper des morceaux de carton et réaliser vous-même ce puzzle.

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>>> Solution animée sur Internet

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>>> Puzzle de l'âne rouge

>>> Jeu de taquin

>>> Énigmes et puzzles – Index

 

 

262.            Pseudo-premiers – 341

 

Théorème

Les Chinois formulaient cette hypothèse:

 

Pour tout premier p,

2p – 2 est divisible par p.

 

C'est vrai et cela se démontre avec le petit théorème de Fermat.

 

Exemples

23 – 2 = 6     et    6/3 = 2

25 – 2 = 30   et  30/5 = 6

211 – 2 = 2 046   et  2 046/11 = 186

 

 

Réciproque:

Est-ce que: tous les nombres en 2p – 2, divisible par p sont premiers?

Réponse: en majorité, oui, mais pas toujours.

 

Plus petit cas

2341 – 2 est divisible par 341

et, pourtant 341 = 31x11 n'est pas premier.

 

Pseudo-premiers

On aurait pu imaginer trouver tous les nombres premiers en testant simplement cette relation.

Tous les nombres qui passent le test sans être premiers comme 341 sont appelés nombres pseudo-premiers.

 

Brèves associées

>>> Petit théorème de Fermat

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>>> Nombres pseudo-premiers

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263.            Les nombres k-bonacci

 

Fibonacci : somme des deux précédents

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

Ex: 8 = 3 + 5.

 

Tribonacci : somme des trois précédents

1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, 121415

 

Trétranacci : les quatre précédents

1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953

 

Ces nombres sont les coefficients des développements d'un polynôme-fraction. Identités valables pour x compris entre 0 et 1.

 

Fibonacci

 

Tribonacci

 

Trétranacci

 

 

Un nombre k-bonacci de rang n indique la quantité de partitions du nombre n avec les nombres de 1 à k.

 

Exemple

Fibonacci 5 = 8

=> il y a 8 partitions du nombre 5 avec les nombres 1 et 2. Ce sont:  1+1+1+1+1; 1+1+1+2; 1+1+2+1; 1+2+1+1; 2+1+1+1; 1+2+2; 2+1+2; 2+2+1.

Brèves associées

>>> Suite de Fibonacci

>>> Fibonacci et programme Scratch

Pour en savoir plus

>>> Suite de Fibonacci généralisées

>>> Quantité de partitions et Fibonacci

>>> Programmation – Index

 

 

264.            Carré alpha-magique

 

Le carré avec des nombres écrits en toutes lettres est magique: même somme en lignes, colonnes et diagonales. Voir sa transcription en tableau de nombres (jaune à gauche).

 

En plus, la quantité de lettres forme le carré magique de droite.

 

Les nombres du second carré sont des nombres consécutifs (de 5 à 13). C'est un véritable carré alpha-magique.

 

Et, c'est le plus petit en langue française lorsqu'on ne compte pas les espaces et les traits d'union.

 

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265.            Somme de produits de premiers

 

Somme de deux premiers

La somme de deux nombres premiers n'est pas divisible par l'un des premiers de la somme.

 

 

 

Somme de deux produits de premiers

La somme de deux produits de nombres premiers distincts n'est pas divisible par l'un des premiers de la somme.

 

 

Cas de 3 x 11 + 5 + 13 = 98
98 est un nombre composé divisible par 2 et par 7, mais pas par l'un des quatre premiers de l'opération: 3, 5, 11 et 13.

 

Exemple avec deux premiers

 

 

Si l'un des termes de la somme est divisible par l'un des premiers, l'autre ne l'est pas. En effet, les nombres premiers sont premiers entre eux et la division de l'un par l'autre donne une fraction irréductible.

Multiplier chaque terme de la somme par un nombre premier différent ne change pas cette propriété: l'un des termes reste irréductible.

 

Exemple avec deux sommes de produits de premiers

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266.            Programme de Langlands

 

"Le plus important concept des mathématiques qui est apparu dans ces clinquantes dernières années. La Grande Théorie d'unification des mathématiques. Ce champ de recherche fascinant jette des ponts prometteurs entre des domaines mathématiques qui paraissent à des années-lumière les uns des autres: algèbre, géométrie, théorie des nombres, analyse et physique quantique." – Edward Frenkel – Amour et Maths

 

"Expliquer ce qu’est le programme de Langlands n’est pas chose facile. Celui-ci mélange l’analyse harmonique sur les groupes topologiques non commutatifs, l’arithmétique des groupes de Galois de corps de nombres et la géométrie arithmétique.

Très concrètement, il s’agit de comprendre certaines séries génératrices de la forme:

 

 

Edward Frenkel (né en 1968 en Russie) est professeur de mathématiques à Berkeley. Mathématicien juif prodige, empêché dans ses études supérieures, il répond positivement à l'appel des mathématiciens américains.

Ses travaux sur l'algèbre affine de Kac-Moody, lui offriront l'occasion de participer au programme de Robert Langlands.

Il se fera remarquer pour avoir tatoué la formule de l'amour sur le corps de sa compagne.  

Pour en savoir plus

>>> Programme de Langlands

>>> Fonction Zêta

>>> Symétries

>>> Géographie – Index

 

Situation de l'Université de Californie-Berkeley

 

 

267.            Abondants et déficients

 

Diviseurs et leur somme

Le nombre 12 est divisible par 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Ces nombres sont les diviseurs de 12. En retirant le nombre lui-même, on parle des diviseurs propres (ou diviseurs stricts).

 

Pour le nombre 12, la somme des diviseurs propres est: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16. Cette somme 16 dépasse le nombre générateur 12. On dit que le nombre 12 est abondant.

 

Dans le cas inverse, comme avec 14, la somme des diviseurs propres (1 + 2 + 7 = 10), est inférieure au nombre; il est déficient.

 

En cas d'égalité, le nombre est dit parfait, comme: 6, 28 …

 

 

Trois catégories de nombres

selon la somme de leurs diviseurs propres

 

 

 

Nombres premiers

Tous les nombres premiers, comme 13, ont pour seul diviseur strict le nombre 1. La somme vaut 1. Tous les nombres premiers sont déficients.

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Pour en savoir plus

>>> Nombres abondants / parfaits / déficients

 

 

268.            Quatre opérateurs binaires

Quatre opérateurs binaires, chacun défini par a et n.

 

Chaque opération correspond à une itération de la précédente.

 

La tétration est le quatrième opérateur binaire, aussi appelé super exponentiation ou hyper-4.

Addition

4 + 3 = 7

 

 

Multiplication

4 x 3 = 12

 

 

Exponentiation

43 = 64

 

 

Tétration

34 = 1,34 10154

 

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>>> Addition

>>> Multiplication

>>> Exponentielle

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269.            Sangakus

 

Sangaku

Formes géométriques japonaises qui figuraient sur des tablettes votives.

Occasion de résoudre des énigmes géométriques astucieuses.

 

Exemple avec ces deux roues

Avec cet exemple simple, on demande à exprimer la distante entre les points A et B.

En mettant en œuvre le fameux théorème de Pythagore, on montre facilement que la distance  est telle que:

AB² = 4 R . r

Le carré de la distance est égal à quatre fois le produit des deux rayons.

 

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Cercle/Sangakus_fichiers/image017.jpg

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270.            Nombre 2019

 

Écriture

Français:  Deux-mille-dix-neuf

Anglais:    Two thousand nineteen

Allemand: Zweitausend und neunzehn

 

Identité

2 018 = 3 x 673

Diviseurs: 1, 3, 673, 2 019; somme: 2 696

Nombre déficient (2 696 – 2 019 = 677 < 2 019

2018 = 220 220 2 en base 3 (ternaire)

 

Somme avec les chiffres de 1 à 6

2 019 = 14 + 24 + 34 + 54 + 64

 

Différence de deux carrés

Comme tous les nombres impairs:

2 019 = 1 010 – 1 009 = 1 010² – 1 009²

 

 

Le nombre 2019 est heureux

2² + 0² + 1² + 9² = 86

8² + 6² = 100

1² + 0² + 0² = 1 Cycle qui finit par 1.

 

Somme de trois consécutifs

Comme tous les nombres divisibles par 3:

2 019 = 672 + 673 + 674 = 3 x 673

 

Privé du 0 ses facteurs sont privés du 6

2 019 = 3 x 673

   219 = 3 x   73

 

Jeu avec les chiffres de 2019

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271.            Couronne

 

Deux cercles de même centre et de rayon R et r, qui délimitent un anneau bleu appelé couronne.

Aire de la couronne:

 

Une corde du grand cercle tangente au petit cercle de longueur 2c, et un cercle ayant ce diamètre.

Calcul de c avec théorème de Pythagore:

 

Aire du disque bleu:

 

L'aire de la couronne est égale à celle du disque dont le diamètre est la corde du grand cercle tangente au petit cercle.

 

Astuce: pour connaitre l'aire de la couronne alors que le disque central est inaccessible (rempli de lave), il suffit de mesurer cette corde (2c).

 

Surfaces en bleu: égales

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272.            Médiatrice – Construction 

Perpendiculaire au milieu de AB: médiatrice

 

*      Cercle de centre A, puis cercle de centre B de même rayon.

*      Joindre les intersections M et N.

*      Le point P, intersection de MN et de AB, est le milieu de AB.

*      MN est perpendiculaire à AB.

 

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273.            Nombres proniques ou oblongs 

 

Un nombre pronique est le produit de deux nombres successifs:
Np = n (n + 1)

Un nombre pronique est la somme de nombres pairs consécutifs:

 

2 + 4 + 6 = 12  et  2 + 4 + 6 + 8 = 20

 

C'est aussi la quantité associée à un rectangle dont longueur et largueur sont égales à 1 près (Illustration).

 

C'est le double d'un nombre triangulaire (Illustration: noir  + rouge). 

 

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Pronique_fichiers/image013.jpg

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/Pronique_fichiers/image013.jpg

 

Liste des 25 plus petits

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650

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274.            Récursivité – Exemple du calcul de la puissance

 

Exercice illustrant le fonctionnment de la récursivité: trouver un algorithme de calcul rapide de la puissance d'un nombre entier (sans utiliser la fonction puissance).

 

Principe utilisé

*    Puissance paire:     n4 =       n2 x n2

*    Puissance impaire: n5 = n x n2 x n2

 

La récursivité fonctionne de la manière suivante, par exemple pour n4:

 

Descente

*      Pour 4 (pair), le  résultat R est égal au carré du résultat de la puissance divisée par 2.

*      Pour 2 (pair), idem: R = résultat de la puissance divisé par 2, au carré.

*      Pour 1 (impair), on multiplie le résultat de la puissance inférieure par n.

*    Pour 0, le résultat vaut 1.

 

Remontée

*    Le programme conserve les résultats intermédiaires en mémoire, et, en remontant, il remplace les résultats en attente par leur valeur:

*    Sachant que pour 0, R = 1

*    Pour 1:   R = n x 1 = n

*    Pour 2:   R = n2

*    Pour 4:   R = (n2)2 = n4

 

 

Récursivité pour la puissance 4

 

Récursivité pour la puissance 5

 

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275.            Pourcentages – Truc de calcul mental 

Si le calcul du pourcentage vous semble compliqué, inversez le calcul …

 

Sur l'ardoise, 8% de 75, c'est un peu dur; en revanche, calculer 75 % de 6, reviens à trouver les 2/4 de 8 soit 6, ce qui est bien plus facile.

 

Sans doute que, sauf une certaine habitude, 13,5 % de 10 vous semblera hors de portée, alors que 10% de 13,5  vous conduira immédiatement à 1,35. 

 

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276.            Partition en trois cubes 

Ce pourrait être un jeu: comment atteindre chacun des nombres avec la somme de trois cubes ?

2 = 73 – 63 – 53 ;     3 = 43 + 43 – 53 ; …

2 = 343 – 216 – 125;  3 = 64 + 64 – 125; …

 

C'est devenu un défi pour nombre de mathématiciens célèbres, puis un exploit d'informaticiens ayant accès à des superordinateurs.

En mars 2019, Andrew Booker vient de trouver la solution pour le nombre 33.

 

Désormais, il reste douze nombres résistants jusqu'à 1000: 42, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 et 975.

33 =   8 866 128 975 287 5283

      + (–8 778 405 442 862 239)3

      + (–2 736 111 468 807 040)3

 

=  (6,969… – 6,764… – 0,205…) 1047

 

Trouver cette simple égalité a nécessité plusieurs jours de calculs et la mise en œuvre d'un algorithme puissant pour réduire la quantité de calculs.

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277.            Labyrinthes 

Énigme

Ces deux labyrinthes en spirale sont différents. L'un est réalisé avec une corde rabotée et l'autre, de deux cordes raboutées. Lequel est l'un et lequel est l'autre ? 

Solution

Avec celui de droite, on entre dans le labyrinthe et on en ressort. Celui- de gauche est en cul-de-sac.

 

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278.            Multiplications originales 

Classique

Celle apprise à l'école.

Méthode de la division par 2

dite aussi, du cancre.

Méthode Karatsuba utilisée par les ordinateurs car elle exige moins de multiplications élémentaires ("coûteuses").

Nécessite quatre multiplications élémentaires.

L'un des nombre est divisé par 2 (entiers) et l'autre multiplié par 2. Somme à droite des lignes impaires à gauche (en rouge).

Nécessite trois multiplications élémentaires (en bleu) et la somme indiquée en jaune, avec au mileu ce calcul spécial:

produit(1) + produit(2) – produit(3)

= 10 + 18 – 1.

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279.            Tirage des boules 

 

Exemple simple

On tire deux boules, l'une après l'autre dans une urne contenant trois boules numérotées.

Il y a six possibilités de tirages: les boules 1 puis 2 ou l'inverse, les balles 1 puis 3 ou l'inverse et les boules 2 puis 3 ou l'inverse.

 

Cas général

Il s'agit de tirages de p objets parmi n.

*      On tire une balle l'une après l'autre, sans la remettre dans l'urne.

*      Et, l'ordre de tirage des boules numérotées est important.

On dit qu'il s'agit d'un arrangement de p parmi n.

 

Calcul

  

 

Exemple simple

 

Exemple de 5 boules parmi 16

 

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